一. 无限小数的定义

百度百科：无限小数是指经计算化为小数后，小数部分无穷尽，不能整除的数。维基中文：无限小数，是指小数部分的位数无限的数字，与有限小数相对。

1. 从形式看，无限小数的“小数位数”定义为无穷大；
2. 从来源看，无限小数产生于计算，是除法计算的结果，即“不能整除(注：应为不能除尽)”得到的“数”。
3. 从形式看：无限小数分划为无限循环小数与无限不循环小数；
4. 从内容看：无限不循环小数定义为“无理数”

二. 有理数与无理数的定义

可以表达为两个整数比的数被定义为有理数；无理数：不能表达为两个整数比的数。

传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明√2无法用整数及分数表示。

可见，有理数、无理数的定义与“分数”的概念有关、而与“小数”的概念无关。

三. 分数与小数的关系

分数形式为整数之比值，可理解为除法运算小数为除法运算转化后的结果

关于除法运算的两个基础概念：

1. 整除：余数为0，商是整数；
2. 除尽：余数为0，商是整数或有限小数。
3. 除不尽的本质：余数≠0，所以要一直除下去，结果就是无穷的小数位数。

两个实数除法运算的结果可以统一表达为

a÷b=c，余δ，(或 a÷b=c+δ/b ) 公式① 其中，a,b∈R,b≠0, c为商，δ为余数)

判断是否能除尽，只需看δ是否能等于0。例如：

1. 1÷4=0.2，余0.2，继续除下去，直到余数=0
2. 1÷4=0.25，余0

除尽⇔余数为0，
除尽⇔有限小数，

∴ 有限小数⇔余数为0，

⇒无限小数⇔余数≠0⇔除不尽

这是从概念出发，必然得到的简单、重要的结论。

四. 无限循环小数

1. 根据公式①，1/3=1÷3=c，余δ
2. 由“除不尽”知，c为无限小数，且永远δ≠0。即1/3=1÷3=0.333…+(⅓δ)

从无限小数的定义出发，易知⅓≠0.333…

五. 函数f(n)=(1/10)^n

⅓=1÷3，经过不断补位相除，余数不断变小，每次相除得到的余数表达式为：δ=(1/10)^n=f(n)，这是一个以自然数n为自变量的函数。

易知，当n→∞时，δ=f(n)→0是一个无穷小量。那么，当n=∞时，是否有δ=f(n)=0呢？从函数的角度，f(n=∞)无定义，即δ=f(∞)=0无从得知，是缺乏定义的“想当然”。

六. 无穷级数与无限循环小数

数列{0.9,0.99,0.999,…｝通项为1-(1/10)^n=g(n)，为一函数，9的位数对应于函数的自变量n。

既然函数g(n)自变量n不允许取∞，则小数0.999…的位数就不允许无穷大。n与∞的关系是趋近于→，则小数0.999…的位数就是→∞

所以，无限循环小数的位数是潜无穷而不能是实无穷。它本质上表示一个无限趋近于某个数字的小数形式。“无限趋近”何意？变量。所以无限循环小数并不是一个精确的数字。－－－换言之，“无限循环小数”并不是一个小数，它是一个函数，它无限趋近于某个数字。例如0.333…之于⅓，0.666…之于⅔，0.999…之于1，彼此相差一个无穷小量。

七. 无限小数与无穷小量

定义：无限循环小数的本质是与某个实数相差无穷小量的表达形式(函数)，趋近程度决定于小数的位数。如果无穷大是个趋势，则位数的无穷大也是个趋势，即变化量。

八. 无限小数与无限整数

主流观点不承认无限整数，整数的位数只能趋于无穷(潜无穷)，而不能达到无穷(实无穷)。

小数的位数能达到实无穷吗？从“无穷大”概念本身出发，整数的位数与小数的位数没有本质的区别。应当一视同仁，不能厚此薄彼、标准不一。

与无限整数一样，无限小数并不存在，并不是一个精确的小数。

九. 无限不循环小数

人们要问了：那么无限不循环小数呢？例如π=3.141592…，√2=1.414…。无理数是不是无限小数呢？

从概念来说，并不存在某个已知的无限不循环小数(位数无穷大、且每一位的数字都确定)，所以这个小数无法确定是否会循环。既然存在无限循环小数，且所有的无限循环小数与有限小数都可以转化成两个整数之比(即有理数)，根据概念的外延性质，那么无限不循环小数就只能是无理数。这就是无理数是无限不循环小数的由来。

前面论述，无限循环小数形式的0.333…并不严格等于有理数⅓，即某些有理数并不能精确地转化成无限循环小数、某些有理数并没有(精确的)小数形式，那么无理数为什么一定要有精确的小数形式呢？即使人为定义了无理数的小数形式(无限且不循环)，

根据“潜无穷”的特性，无限不循环小数的位数趋于无穷大，说明它也不是一个精确的小数。它只是某个无理数的近似值。3.141592…之于π，1.141…之于√2，就如同0.333…之于⅓，0.999…之于1。

十. 总结

• “无限小数”可理解为一个函数或变量，其位数(自变量)的无穷是潜无穷，不可能达到；
• “无限小数”并不是一个确定的数，而是与某个确定的数非常趋近但永远达不到(因为自变量在实无穷处无定义)；
• “无限小数”与它趋近于的某个确定的实数相差一个无穷小量