贝塞尔曲线

基本公式：B(t)=∑i=0n(in)Pi(1−t)n−iti，t∈[0,1]基本公式：B(t)=\sum_{i=0}^{n} \Big({_i^n}\Big)P_i(1-t)^{n-i}t^i，t\in[0,1]基本公式：B(t)=i=0∑n(in)Pi(1−t)n−iti，t∈[0,1]
三次贝塞尔曲线：
B(t)=P0(1−t)3+3P1t(1−t)2+3P2t2(1−t)+P3t3，t∈[0,1]B(t)=P_0(1-t)^3+3P_1t(1-t)^2+3P_2t^2(1-t)+P_3t^3，t\in[0,1]B(t)=P0(1−t)3+3P1t(1−t)2+3P2t2(1−t)+P3t3，t∈[0,1]
由此可见其系数规律：
111\ 11 11211\ 2\ 11 2 113311\ 3\ 3\ 11 3 3 1146411\ 4\ 6\ 4\ 11 4 6 4 1
分别为一阶到四阶的系数规律，变化规律为杨辉三角，并且ttt与(t−1)(t-1)(t−1)的规律是一个逐渐转变的一个过程。

一段贝塞尔曲线拟合程序：

import matplotlib.pyplot as pltx = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
y = [12, 2, 78, 12, 34, 23, 67, 87, 98, 10]
xnew = []
ynew = []def Bazier_3(m1, m2):for i in range(101):t = i / 100xnew.append(m1[0] * (1 - t) ** 3 + 3 * m1[1] * t * (1 - t) ** 2 + 3 * m1[2] * t ** 2 * (1 - t) + m1[3] * t ** 3)ynew.append(m2[0] * (1 - t) ** 3 + 3 * m2[1] * t * (1 - t) ** 2 + 3 * m2[2] * t ** 2 * (1 - t) + m2[3] * t ** 3)for i in range(len(x) // 3):Bazier_3(x[i * 3:(i + 1) * 3 + 1], y[i * 3:(i + 1) * 3 + 1])plt.plot(xnew, ynew)
plt.plot(x, y)
plt.scatter(x, y)
plt.show()

可以看到，在3，6这两个点，并不满族c2连续。

B样条曲线

基本公式：P⃗(t)=∑i=0nPi⃗Bi,n(t)基本公式：\vec{P}(t)=\sum_{i=0}^{n}\vec{P_{i}}B_{i,n}(t)基本公式：P(t)=i=0∑nPiBi,n(t)

其基本形式与贝塞尔曲线相似

其中T=[t0,t1,t2,...,tn]其中T=[t_{0},t_{1},t_{2},...,t_{n}]其中T=[t0,t1,t2,...,tn]

Ni,0(t)={1t>ti或t≥ti+10ti≤t≤ti+1N_{i,0}(t)=\Big \{ ^{0\qquad\qquad t_{i}{\le}t{\le}t_{i+1}}_{1\qquad\qquad t>t_{i}或t{\ge}t_{i+1}}Ni,0(t)={1t>ti或t≥ti+10ti≤t≤ti+1

Ni,k(t)=t−titi+k−tiNi,k−1(t)+ti+k+1−tti+k+1−ti+nNi+1,k−1(t)k≥1N_{i,k}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i}N_{i,k-1}(t)+\frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+n}}N_{i+1,k-1}(t)\qquad k\ge1Ni,k(t)=ti+k−tit−tiNi,k−1(t)+ti+k+1−ti+nti+k+1−tNi+1,k−1(t)k≥1
其中，Ni,k(t)中的i是控制点，k是次数其中，N_{i,k}(t)中的i是控制点，k是次数其中，Ni,k(t)中的i是控制点，k是次数
用的最多的是三次B样条曲线。
其中：
N0,3(t)=16(−t3+3t2−3t+1)N_{0,3}(t)=\frac{1}{6}(-t^3+3t^2-3t+1)N0,3(t)=61(−t3+3t2−3t+1)

N1,3(t)=16(3t3−6t2+4)N_{1,3}(t)=\frac{1}{6}(3t^3-6t^2+4)N1,3(t)=61(3t3−6t2+4)

N2,3(t)=16(−3t3−3t2+3t+1)N_{2,3}(t)=\frac{1}{6}(-3t^3-3t^2+3t+1)N2,3(t)=61(−3t3−3t2+3t+1)

N1,3(t)=16t3N_{1,3}(t)=\frac{1}{6}t^3N1,3(t)=61t3

为了使其闭合，要取最后一个点与与第一个控制点相同，即Pm+1=P0P_{m+1}=P_0Pm+1=P0，Pm+2=P1P_{m+2}=P_1Pm+2=P1，Pm+3=P2P_{m+3}=P_2Pm+3=P2，这样的曲线满足c2c_2c2连续。

一个拼接示例：

import matplotlib.pyplot as pltx = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
y = [12, 2, 78, 12, 34, 23, 67, 87, 98, 10]
xnew = []
ynew = []arg = [[-1, 3, -3, 1], [3, -6, 0, 4], [-3, 3, 3, 1], [1, 0, 0, 0]]def Ba(t, coefficient):return (coefficient[0] * t ** 3 + coefficient[1] * t ** 2 + coefficient[2] * t + coefficient[3]) / 6def creat(n):for i in range(101):t = i / 100xnew.append(x[n + 0] * Ba(t, arg[0]) + x[n + 1] * Ba(t, arg[1]) + x[n + 2] * Ba(t, arg[2]) + x[n + 3] * Ba(t, arg[3]))ynew.append(y[n + 0] * Ba(t, arg[0]) + y[n + 1] * Ba(t, arg[1]) + y[n + 2] * Ba(t, arg[2]) + y[n + 3] * Ba(t, arg[3]))for i in range(7):creat(i)plt.plot(xnew, ynew)
plt.plot(x, y)
plt.scatter(x, y)
plt.show()

拼接后的图片如下所示，满足c2c_2c2连续。

贝塞尔曲线与B样条曲线的结合：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Darg = [[-1, 3, -3, 1], [3, -6, 0, 4], [-3, 3, 3, 1], [1, 0, 0, 0]]  # B样条曲线的拟合参数
mar = [[0, -93.70105743, -7.71050644, 11.30164337],[0, -81.51637268, 2.65858841, 21.85936928],[0, -100.43165588, -506.84307861, -277.47509766],[0, -413.89691162, -244.77906799, -228.4907074],[0, -74.61241913, 22.23334312, 28.80702591],[0, -57.65986252, 33.13808441, 40.01465988],[0, -23.39715576, -46.36453247, -68.40002441],[0, -427.99655151, -242.35075378, -246.75854492],[0, -93.70105743, -7.71050644, 11.30164337]]  # 原数据def Bazier_3(m1, m2):  # 贝塞尔曲线拟合x = []y = []for i in range(101):t = i / 100x.append(m1[0] * (1 - t) ** 3 + 3 * m1[1] * t * (1 - t) ** 2 + 3 * m1[2] * t ** 2 * (1 - t) + m1[3] * t ** 3)y.append(m2[0] * (1 - t) ** 3 + 3 * m2[1] * t * (1 - t) ** 2 + 3 * m2[2] * t ** 2 * (1 - t) + m2[3] * t ** 3)return x, ydef Ba(t, coefficient):  # 参数合成return (coefficient[0] * t ** 3 + coefficient[1] * t ** 2 + coefficient[2] * t + coefficient[3]) / 6def creat_mart(mart):  # 贝塞尔曲线生成re = []for i in range(len(mart)):temp_x, temp_y = Bazier_3([0, 1, 2, 3], mart[i])re.append(temp_y)return re, temp_xdef creat_mart_finnally(data):  # 最终生成out = []times = data.shape[0]for j in range(times - 1):for i in range(45):t = i / 45temp = 0for k in range(4):temp += data[(j + k) % times] * Ba(t, arg[k])out.append(temp)return outdef draw(mat1, mat2, mat3):x = np.linspace(0, 8, 9)y = np.linspace(0, 3, 4)x, y = np.meshgrid(x, y)x = x.Ty = y.Txs = np.ravel(x)ys = np.ravel(y)zs = np.ravel(mat1)xnew = np.linspace(0, 8, 360)ynew = np.linspace(0, 3, 101)xn, yn = np.meshgrid(xnew, ynew)x_min = np.linspace(0, 8, 9)y_min = np.linspace(0, 3, 101)x_min, y_min = np.meshgrid(x_min, y_min)plt.figure("原数据")ax = plt.subplot(1, 1, 1, projection='3d')ax.plot_trisurf(xs, ys, zs, cmap='coolwarm')ax.set_xlabel('angle')ax.set_ylabel('stepsize')ax.set_zlabel('Z')plt.title('raw')plt.figure("最终数据")ax2 = plt.subplot(1, 1, 1, projection='3d')ax2.plot_surface(xn.T, yn.T, mat2, rstride=2, cstride=2, cmap='coolwarm', linewidth=0.5, antialiased=True)ax2.set_xlabel('angle')ax2.set_ylabel('stepsize')ax2.set_zlabel('Z')plt.title('processed')plt.figure("中间数据")ax3 = plt.subplot(1, 1, 1, projection='3d')ax3.plot_surface(x_min.T, y_min.T, mat3, rstride=2, cstride=2, cmap='coolwarm', linewidth=0.5, antialiased=True)ax3.set_xlabel('angle')ax3.set_ylabel('stepsize')ax3.set_zlabel('Z')plt.title('min')plt.show()mat_new, _ = creat_mart(mar)mat_new = np.array(mat_new)mat_f = []
for i in range(mat_new.shape[1]):mat_f.append(creat_mart_finnally(mat_new[:, i]))mat_f = np.array(mat_f).Tdraw(np.array(mar), mat_f, mat_new)

生成的图片如下：
源数据：

在步长方向上进行了贝塞尔曲线插值之后的数据是这样的：

在角度方向上面进行了B样条曲线插值：

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