双线性对映射 概念理解
双线性映射定义了三个素数p阶群乘法循环群G1,G2,GTG_1,G_2,G_TG1,G2,GT，并且定义在这三个群上的映射关系e:G1×G2→GTe:G_1 \times G_2 \rightarrow G_Te:G1×G2→GT，并且满足以下性质：
Tips:
什么是阶？
群的阶：群的元素个数，和群的基数是一个意思。
群中元素的阶：aaa为群GGG中的一个元素，规定a0=e单位元a^0=e单位元a0=e单位元，使an=ea^n=ean=e的最小正整数nnn叫做元素aaa的阶∣a∣|a|∣a∣，如果这样的nnn不存在，则aaa的阶为无限或称为0。什么是群？
设GGG是一个非空集合，“*”是GGG上的一个代数运算，即对所有的该集合中的任意两个元素a,ba,ba,b，有a∗b∈Ga * b \in Ga∗b∈G，如果满足以下三个条件：（1）结合律，对所有的a,b,c∈Ga,b,c \in Ga,b,c∈G有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a*b)*c=a*(b*c)(a∗b)∗c=a∗(b∗c) （2）GGG中存在元素eee，使得对于每一个GGG中的元素aaa都有e∗a=a∗ee*a=a*ee∗a=a∗e。(3）对GGG 中的每个元素 aaa，存在另一个元素bbb使得 a∗b=b∗a=ea*b=b*a=ea∗b=b∗a=e，则称GGG关于运算 “*” 构成一个群，记为(G,∗)(G,*)(G,∗)。其中称e为单位元，一个群的单位元是唯一的。称b为元素a的逆元，对各个元素来说，也是唯一的。
- 双线性：对于任意G1,G2中的元素g1,g2G_1,G_2中的元素g_1,g_2G1,G2中的元素g1,g2以及属于ZpZ_pZp的整数，e(g1a,g2b)=e(g1.g2)abe(g^a_1,g^b_2)=e(g_1.g_2)^{ab}e(g1a,g2b)=e(g1.g2)ab成立。
- 非退化性：G1G_1G1和G2G_2G2中存在g1,g2g_1,g_2g1,g2满足e(g1,g2)≠1e(g_1,g_2) \neq 1e(g1,g2)̸=1
- 可计算性：存在有效的算法使得对所有的G1,G2G_1,G_2G1,G2中的元素均可计算e(g1,g2)e(g_1,g_2)e(g1,g2)
如果G1=G2G_1=G_2G1=G2则上述双线性对是对称的，否则是非对称的。
reference
https://www.zhihu.com/question/39641890
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