MATLAB 符号运算

前言

有时候，你可能会遇到较复杂的方程(组)，希望用MATLAB来求解。MATLAB的符号运算正好可用于求解方程(组)。此外，它还有许多其他功能。例如，展开和简化、因式分解以及微积分运算等。MATLAB的符号运算虽然是数值运算的补充，但是它仍然是科学计算研究中不可替代的重要内容。与数值运算相比，符号运算不需要预先对变量赋值，其运算结果以标准的符号形式表达。比如说计算sin(π)，数值运算的结果是1.2246e-16，符号运算的结果是0。前者是近似的，后者是精确的。

正文

MATLAB符号运算功能非常强大，本文只介绍大部分常用的符号运算功能。注：本文代码的运行环境是MATLAB R2016b。

1. 创建符号数、符号变量和符号矩阵

这一步骤是符号运算的第一步，后面的步骤都是在此基础上进行的。

%创建符号数 (只能用sym函数)
s0 = 1 / sym(7)              %符号数，不适合大型符号数
s1 = sym('1/7')              %符号数
s2 = sym('3 + 4i')           %符号复数%创建符号变量 (sym函数和syms函数都行)
%--sym函数
s3 = sym('x')             　　%符号变量%--syms函数
syms a b c                　　%创建多个符号变量，值为本身
syms(sym('[d e; e d]'))      %用已存在的符号变量矩阵创建多个符号变量%创建符号矩阵 (sym函数和syms函数都行)
s4 = sym('[2 5 6; 9 8 6]')    %符号数矩阵
s5 = sym('x', [2 3])          %符号变量矩阵，矩阵内的元素不会被创建为符号变量
A = [a b c; c b a]            %用已存在的符号变量创建符号变量矩阵
% syms A B [2 3]              %仅2017及以上版本支持，同时创建多个符号矩阵

代码运行结果如下。可以看到s5是一个2x3的符号变量矩阵，但矩阵内元素不会被创建成符号变量。

2. 创建符号表达式、符号函数

要表达一个数学函数可以用符号函数或符号表达式。

%创建符号表达式
syms x y
f = x^2 + 5*x + 4         　　　　　　　　　　   %符号表达式
subs(f, x, [2 1])             　　　　　　　　　 %分别将f中的x换成2和1
f2 = sym('x^2 + 2*x + 1 = 0')   　　　       　 %创建方程
k = piecewise(x <= 0, x + y, x > 0, x - y);    %分段符号表达式
%更多分段符号表达式/函数的介绍详见：https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/piecewise.html#responsive_offcanvas%创建符号函数
%--用syms函数
syms G(x, y) F(z)    %创建多个符号函数，变量名为括号前字母, 值为本身，其自变量也创建对应的符号变量
F(z) = z^2 + 5*z + 4                　　　　　　　　%符号函数
F([2 1])                                    　　　 %分别计算F(2)和F(1)
G(x, y) = piecewise(x <= 0, x + y, x > 0, x - y); %分段符号函数，有多个条件用&&连接%--用symfun函数
syms x y
g = symfun(x^2 + y^2, [x y])   %因变量 = symfun(公式，[自变量1 自变量2])
g([2 3], [1 2])                %分别计算g(2, 1)和g(3, 2)

代码运行结果如下。从图中可以看出符号表达式与符号函数之间的区别，它们的类型不同，且计算函数值的方式的也不同。

3. 符号运算中的基本运算

符号运算是精确计算，不会产生截断误差。并且可以根据需要，给出完全的封闭解或任意精度的数值解。本节讨论符号运算中的基本运算，可分为算术运算和关系运算。

3.1. 算术运算

数值运算中的一些运算符，例如‘+’、‘-’、‘*’、‘/’、’.*‘、’./‘、‘^’等，在符号运算中也可以使用。由于比较简单，且和数值运算相同，这里不做展示。

3.2 关系运算

关系运算符在符号运算中也可以使用，包括’>‘、’>=‘、’<‘、’<=‘、’==‘、’~=‘等。但是，在符号运算中这些运算并不是用来做关系比较，而是通过这些关系运算符构建关系式，作为后续操作（例如，解方程）的限制条件。若要对两个符号式做关系比较，可以使用函数isAlways、isequal或isequaln。

%关系运算
syms x
assume(x > 2);                                      %假设x是大于2的
solve((x + 1)*(x - 1)*(x - 2)*(x - 4)*(x - 6) == 0) %在设定的条件下，解方程%函数isAlways、isequal以及isequaln
%--isAlways：判断两个符号式构成的关系比较式的真假
A1 = [x, sym(9); 2*x^2, tan(x)];
B1 = [2*x, sym(6); x^2, sin(x)/cos(x)];
res1 = isAlways(A1  > B1)                    %对于数组情况，分别比较相应元素，结果为同等大小的logical数组%--isequal和isequaln：都是判断输入的两个符号式是否相等。但前者将NAN视为不相等，后者将NAN视为相等
A2 = [x+1, nan]
B2 = [x+1, nan]
res2 = isequal(A2, B2)
res3 = isequaln(A2, B2)                　　　%对于数组情况，相应元素全部相等，返回1；反之，返回0

代码运行结果如下。

4. 符号运算的主要功能

MATLAB符号运算提供了许多数学操作，例如解方程、微积分、线性代数运算、简化、变换等。本节将简单介绍微积分、解方程以及变换，更多详细功能介绍请看官方帮助文档。

4.1 微积分

微积分是数学中非常重要的分析工具。MATALB提供了许多微积分的相关操作，这里简单介绍求极限、微分以及积分。详细功能见微积分帮助文档。

%求极限
syms x
f1 = limit((exp(x) - 1) / x, x, 0)        %计算x逼近0时，f的双向极限值%微分
syms x y
f2 = diff(sin(x*y), x, y)                 %f先对x求导，再对y求导%积分
syms x y
f3 = x / (y^2 + 1);
res1 = int(f3, x)            %f关于x的不定积分
res2 = int(f3, x, 1, 3)      %f关于x在[1, 3]上的定积分
%changeIntegrationVariable函数：换元积分法
%integrateByParts函数：分部积分法

代码运行结果如下。

4.2 解方程

利用MATALB可以求解多种方程（组），例如线性方程、非线性方程、微分方程等。详见方程求解帮助文档。

%线性方程：所有未知数都是一次的。可用矩阵形式表示。（用linsolve）
syms x y z
eqns = [x+y-2*z == 0, x+y+z == 1, 2*y-z == -5];
[A, b] = equationsToMatrix(eqns)    　　　　　　　　 %将线性方程转为矩阵形式
X = linsolve(A, b)                             　　%linsolve函数大的对象是矩阵形式的线性方程%非线性方程：（用solve函数或vpasolve函数）
%--求解析解
syms x y
eqns = [2*x^2 + y^2 == 0, 2*x - y == 4];
[solx soly] = solve(eqns, [x y])%--求数值解
syms x
eqn = x^6 - x^2 == 2;
s1 = vpasolve(eqn, x)                %不指定求解范围
s2 = vpasolve(eqn, x, [-3, 3])       %指定求解范围%常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程
syms y(t) a b
eqn = diff(y, t, 2) == 2 * a^2 * y;  %二阶常微分方程
diffY = diff(y, t);
cond = [y(0)==b, diffY(0)==1];       %初始条件
ySol(t) = dsolve(eqn, cond)

代码运行结果如下。

4.3 变换

傅里叶变换、拉普拉斯变换以及Z变换是数学中的常用变换，也是对于工科学生很重要的变换。MATLBA为上述变换都提供了相应的函数来实现。下面开始介绍这些函数的简单使用，每个变换的定义不进行说明，详细说明见变换函数的帮助文档。

%傅里叶变换
syms t
f = cos(2 * t);
f_FT = fourier(f)         %傅里叶变换
f_IFT = ifourier(f_FT)    %傅里叶逆变换
% fourier(f, y)           %指定变换变量，默认是w
% fourier(f, t, y)        %指定自变量和变换变量，默认自变量可以用symvar查看%拉普拉斯变换
syms t
f = 2 * t;
f_LT = laplace(f)         %拉普拉斯变换
f_ILT = ilaplace(f_LFT)   %拉普拉斯逆变换
% laplace(f, y)           %指定变换变量，默认是s
% laplace(f, t, y)        %指定自变量和变换变量%Z变换
syms n z
f = sin(n);
f_ZT = ztrans(f)          %Z变换
f_IZT = iztrans(f_ZT)     %逆Z变换
% ztrans(f, y)            %指定变换变量，默认是z
% ztrans(f, t, y)         %指定自变量和变换变量

代码运行结果如下。

5. 绘图

对于前面提到的符号表达式、符号方程、符号函数等，MATLBA提供了丰富的绘图函数来绘制它们。这些图可以是2D或3D形式的直线、轮廓线、曲面或网格。甚至，还可以创建动画图。下面展示2D和3D形式的曲线图，更详细说明见绘图帮助文档。

syms x
fplot(tan(x) * sin(x));    　　%2D曲线  syms t
xt = exp(-t/10).*sin(5*t);    %参数方程
yt = exp(-t/10).*cos(5*t);
zt = t;
figure
fplot3(xt, yt, zt)            %3D曲线

代码运行结果如下。

博主：虔诚~似锦（主博客）

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