存在条件

整数系数方程ax+by+c=0

表述1：最大公约数

若a,b的最大公约数能被c整除则有整数解
即 ( a , b ) ∣ c (a,b)|c (a,b)∣c

表述2：裴蜀定理

若a,b互质时一定有整数解

整除法

a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y使ax+by=1
若方程存在整数解，一般有无数多个，引入整数k表示通解，k为参变数
求 5 x + 11 y − 1 = 0 5x+11y-1=0 5x+11y−1=0的整数解：

x = 1 − 11 y 5 = 1 − y − 10 y 5 = 1 − y 5 − 2 y k = 1 − y 5 k i s i n t e g e r s o y = 1 − 5 k w e h a v e : x = k − 2 ( 1 − 5 k ) = 11 k − 2 a l l r e s u l t : [ x = 11 k − 2 ] [ y = 1 − 4 k ] \begin{array} {lr} x=\frac{1-11y}{5} = \frac{1-y-10y}{5} = \frac{1-y}{5}-2y\\k= \frac{1-y}{5} \\k\;is\;integer\\ so\;y=1-5k\\ we\:have:\\x=k-2(1-5k)=11k-2\\ all\;result:\\ [x=11k-2] \\ [y=1-4k] \end{array} x=51−11y=51−y−10y=51−y−2yk=51−ykisintegersoy=1−5kwehave:x=k−2(1−5k)=11k−2allresult:[x=11k−2][y=1−4k]

公式法

if there are a comfirm Integer solutions like this:
x = x 0 y = y 0 x = x_0\\y = y_0 x=x0y=y0
so the common sulutions are:
x = x 0 + b k y = t 0 − a k x = x_0+bk\\y=t_0-ak x=x0+bky=t0−ak

辗转替换

百钱买百鸡问题
鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？

假设鸡翁、鸡母、鸡雏数量分别是 x , y , z x,y,z x,y,z 。相当于方程组
x + y + z = 100 5 x + 3 y + z / 3 = 100 x+y+z=100\\ 5x+3y+z/3=100 x+y+z=1005x+3y+z/3=100
Elimination y in functions:
7 x + 4 y − 100 = 0 7x+4y-100=0 7x+4y−100=0
following steps should be taken:
7 x + 4 y = 100 3 x + 4 ( x + y ) = 100 3 ( x + x + y ) + ( x + y ) = 3 a + b = 100 h e r e a r e a = x + x + y = 2 x + y b = x + y A K A b ′ s p a r a = 1 , w e h a v e : x = a − b = 4 a − 100 y = b − x = 200 − 7 a z = 100 − z − y = 3 a n o w e h a v e c o m m o n s u l u t i o n s : x = 4 a − 100 y = 200 − 7 a z = 3 a e n d h e r e 7x+4y=100\\ 3x+4(x+y)=100\\ 3(x+x+y)+(x+y)=3a+b=100\\ hereare\\ a=x+x+y = 2x+y\\ b = x+y\\ AKA\;b's\;para=1,wehave:\\ x=a-b=4a-100\\ y=b-x=200-7a\\ z=100-z-y=3a\\ nowehavecommonsulutions:\\ x=4a-100\\ y=200-7a\\ z=3a\\ endhere\\ 7x+4y=1003x+4(x+y)=1003(x+x+y)+(x+y)=3a+b=100herearea=x+x+y=2x+yb=x+yAKAb′spara=1,wehave:x=a−b=4a−100y=b−x=200−7az=100−z−y=3anowehavecommonsulutions:x=4a−100y=200−7az=3aendhere
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