裴蜀定理的证明与推广应用

裴蜀定理：对于方程ax+by=max+by=max+by=m（a,ba,ba,b为正整数），x,yx,yx,y有整数解的充要条件是m%gcd(a,b)=0m\%gcd(a,b)=0m%gcd(a,b)=0
证明：
设d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)，则d∣ad|ad∣a且d∣bd|bd∣b，由于xyxyxy为整数，则d∣(ax+by)d|(ax+by)d∣(ax+by)
因为ax+by=max+by=max+by=m，所以d∣md|md∣m
推广：对于方程ax+by+cz+...=max+by+cz+...=max+by+cz+...=m（a,b,c...a,b,c...a,b,c...为正整数），x,y,z...x,y,z...x,y,z...有整数解的充要条件是m%gcd(a,b,c...)=0m\%gcd(a,b,c...)=0m%gcd(a,b,c...)=0
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