前言

斜率优化dp，就是利用斜率优化的dp

（逃）

解析

第一道斜优的题
分析题目
设sumisum_isumi为1-i的c的前缀和
容易写出dp转移式：
dpi=min(dpj+(sumi−sumj+i−j−1−L)2)dp_i=min(dp_j+(sum_i-sum_j+i-j-1-L)^2)dpi=min(dpj+(sumi−sumj+i−j−1−L)2)

但是平方转移会T掉
考虑优化
设：
ai=sumi+ia_i=sum_i+iai=sumi+i
bi=sumi+i+1+Lb_i=sum_i+i+1+Lbi=sumi+i+1+L
注意到对于固定的 i，a和b都是可求的定值
那么上面的dp，就可以写成：
dpi=min(dpj+(ai−bj)2)dp_i=min(dp_j+(a_i-b_j)^2)dpi=min(dpj+(ai−bj)2)
把平方拆开：
dpi=min(dpj+ai2+bj2−2∗ai∗bj)dp_i=min(dp_j+a_i^2+b_j^2-2*a_i*b_j)dpi=min(dpj+ai2+bj2−2∗ai∗bj)
为了转移优化，我们需要移一下项：
2∗ai∗bj+dpi−ai2=dpj+bj22*a_i*b_j+dp_i-a_i^2=dp_j+b_j^22∗ai∗bj+dpi−ai2=dpj+bj2

上面那个式子可以看成一个以bjb_jbj为未知数，斜率为2∗ai2*a_i2∗ai，且经过(bj,dpj+bj2)(b_j,dp_j+b_j^2)(bj,dpj+bj2)的一次函数
没明白？这么看：
f(x)=2∗ai∗x+dpi−ai2f(x)=2*a_i*x+dp_i-a_i^2f(x)=2∗ai∗x+dpi−ai2
f(bj)=dpj+bj2f(b_j)=dp_j+b_j^2f(bj)=dpj+bj2
dpidp_idpi就是这个函数与y轴的截距加上aia_iai的平方，因此我们实际上就是要使函数在y轴上的截距最小
有了这个函数之后，我们就可以开始尝试优化了

对于每一个新的要求的dp[i]，其直线对应的斜率是固定的
我们维护一个可以作为转移点的队列，其中的决策点对应的点对(b[x],dp[x]+b[x]^2)形成一个凸包的结构

由于随着 i 的增大，其直线的斜率（2∗ai2*a_i2∗ai）单调递增，所以位于凸包上方的点是一定不会作为最优决策点的
若记A、B两点之间的斜率为slope（A、B）
不难看出，要使其这条直线的y轴截距最小，我们应该找到**第一个
slope（P[j],P[j+1])>2∗aislope（P[j],P[j+1])>2*a~i~slope（P[j],P[j+1])>2∗a i 的位置
而且由于斜率单调递增，P_j左侧的点以后一定不会再被选到了
所以我们可以用一个单调队列来维护
时间复杂度降为O(n)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define I register int
using namespace std;
#define ll long long
const int N=5e4+10;
ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
int n;
ll sum[N],c[N],a[N],b[N],l,dp[N];
struct pos{ll x,y;int pl;
};
pos q[N];
int st,ed;
double slope(pos u,pos v){return 1.0*(v.y-u.y)/(v.x-u.x);
}
int main(){//  freopen("a.in","r",stdin);
//  freopen("a.out","w",stdout);n=read();l=read();for(int i=1;i<=n;i++){//printf("ok i=%d\n",i);c[i]=read();sum[i]=sum[i-1]+c[i];a[i]=sum[i]+i;b[i]=sum[i]+i+l+1;}b[0]=l+1;st=ed=1;q[1]={b[0],b[0]*b[0],0};for(int i=1;i<=n;i++){ll k=2*a[i];while(st<ed&&slope(q[st],q[st+1])<k) st++;ll x=q[st].x,y=q[st].y;int pl=q[st].pl;dp[i]=y+a[i]*a[i]-2*a[i]*b[pl];//printf("i=%d st=%lld dp=%lld k=%lld\n  ",i,q[st].pl,dp[i],k);//for(int i=st;i<=ed;i++) printf("%d:(%lld %lld %lld)  ",i,q[i].x,q[i].y,q[i].pl);//printf("\n\n");pos now=(pos){b[i],dp[i]+b[i]*b[i],i};while(st<ed&&slope(q[ed-1],q[ed])>slope(q[ed-1],now)){ed--;// printf("ou2!\n");}q[++ed]=now;}printf("%lld",(long long)dp[n]);return 0;
}
/*
6 10
5
8
5
10
19
1
*/

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YBTOJ洛谷P3195：玩具装箱（斜率优化dp）

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