[蓝桥杯][算法训练VIP]摆动序列（深搜+回溯||动态规划）

题目描述
如果一个序列满足下面的性质，我们就将它称为摆动序列：

序列中的所有数都是不大于k的正整数；
序列中至少有两个数。
序列中的数两两不相等；
如果第i – 1个数比第i – 2个数大，则第i个数比第i – 2个数小；如果第i – 1个数比第i – 2个数小，则第i个数比第i – 2个数大。
比如，当k = 3时，有下面几个这样的序列：
1 2
1 3
2 1
2 1 3
2 3
2 3 1
3 1
3 2
一共有8种，给定k，请求出满足上面要求的序列的个数。
输入
输入包含了一个整数k。（k< =20）
输出
输出一个整数，表示满足要求的序列个数。
样例输入
3
样例输出
8
思路：一开始以为是记忆化搜索，但是没想出怎么记忆化，就暴力dfs+回溯试了一下，发现数列收敛的很快，没有特别长的那种，所以时间复杂度是允许的（k<=20）。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;const int maxx=2e1+1;
int a[maxx],vis[maxx];
int n;inline void dfs(int num,int &ans)
{if(num>n) return ;if(num>=2){ans++;if(a[num]>a[num-1]) {for(int i=a[num-1]-1;i>=1;i--){if(vis[i]==0){a[num+1]=i;vis[i]=1;dfs(num+1,ans);vis[i]=0;a[num+1]=i;}}}else{for(int i=a[num-1]+1;i<=n;i++){if(vis[i]==0){a[num+1]=i;vis[i]=1;dfs(num+1,ans);vis[i]=0;a[num+1]=0;}}}}else{for(int i=a[num]-1;i>=1;i--){if(vis[i]==0){a[num+1]=i;vis[i]=1;dfs(num+1,ans);vis[i]=0;a[num+1]=0;}}for(int i=a[num]+1;i<=n;i++){if(vis[i]==0){a[num+1]=i;vis[i]=1;dfs(num+1,ans);vis[i]=0;a[num+1]=0;}}}
}
int main()
{scanf("%d",&n);int ans=0;memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<=n;i++){a[1]=i;vis[i]=1;dfs(1,ans);vis[i]=0;}cout<<ans<<endl;return 0;
}

如果k再大一点，dfs就不是那么好了，因为回溯耗时也很大。那么我们考虑dp的方式。我们可以根据dfs的结果，建立一个表，在里面寻找规律。如下图所示（图片来源）：

纵坐标代表的是k的取值，横坐标代表的是在这k个数中选取的数的个数。
我们可以发现，横坐标为2的时候，答案总是(k-1)*k。横坐标再大的时候，我们就可以发现规律了。
状态转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1].
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;const int maxx=2e2+100;
int dp[maxx][maxx];
int n;int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=2;i<=n;i++) dp[i][2]=(i-1)*i;for(int j=3;j<=n;j++){for(int i=3;i<=n;i++) dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1];}int ans=0;for(int i=2;i<=n;i++) ans+=dp[n][i];cout<<ans<<endl;return 0;
}

时间复杂度仅仅为O(n^2)。
努力加油a啊，(^o)/~

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