对几种二叉树的简单理解

二叉搜索树（BST best search tree）：

右子节点的关键值总是大于或者等于此节点的关键值，左子节点的关键值总是小于该节点的关键值。

这样在检索的时候能实现二分法的检索，时间复杂度log2(n)

可见BST树的形成，使我们在存储的时候，就选择性的存储，去塑造一个二叉搜索树。可见数据有效能的检索的前提是我们有意愿的塑造一个规整的数据结构！！这句话不仅仅体现在数据结构上，更是体现在我们的算法上，算法就是包含数据结构的。在数据库系统中，如何塑造有效的查询或者先关的条件查询，这种思维认识也是体现的很明显。

二叉平衡树(AVL Adelson-Velskii和Landis于1962年首先提出的,所以又称为AVL树)：

定义：左右子树的度的差值的绝对值不超过1. 且左右子树也是一个平衡树。且平衡树具备BST的特性。

说白了平衡树是严格上的BST树，严格在于要求树的度达到最小值。尽量在要求节点关键值右大左小的同时，要求根节点的关键值位于一堆数字的中间，而且依次类推。

这样可以最大限度达到log2(n)的时间复杂度。

可见这里又再次体现我们如果实现有效快速的查询检索，就要尽量在保存数据的时候，做到数据的合理有序存储化，也就是在存储的时候我们需要耗费一定的时间。也就是将一定的时间复杂度分配给存储的过程。

B-树：是一种多路搜索树（并不是二叉的）：（数据库索引就是使用这类树，如B-,B+,B*,说白了就是多路搜索）

1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；（这句话倒不如这么说：非叶子节点的儿子数可以是0,1,2......N，不包括根节点）

2.根结点的儿子数为[2, M]；（节点数可以是2,3,4......）（M是节点关键字数，那么子节点的数是小于或者等于或者是关键字数+1；这三种条件。为什么这样，是因为这样才能使得关键字数和子节点分支对应上，才能构成条件分支多路检索，每一个关键字数值成为访问具体的子节点的条件。当子节点数=关键字数+1，相当于n个模板造就n+1的分割空间）

3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；

4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字和最多M-1个关键字，那么总有节点数小于等于关键字数或者为关键字数+1）

5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；（严格要求的非叶子节点的关键字数必须饱和状态）

6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；（关键字顺序关系）

7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的

子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

8.所有叶子结点位于同一层；

M=3

B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点.

B-树的特性：

1.关键字集合分布在整颗树中；
2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3.搜索有可能在非叶子结点结束；
4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5.自动层次控制；
由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少

利用率，其最底搜索性能为：

其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并.

B+树：是B-树的变体，也是一种多路搜索树.

1.其定义基本与B-树同，除了：
2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树
（B-树是开区间）；
5.为所有叶子结点增加一个链指针；
6.所有关键字都在叶子结点出现；

M=3

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；
B+的特性：
1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
2.不可能在非叶子结点命中；
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
4.更适合文件索引系统；

B*树：是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）， B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据
复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；B*树的分裂：当一个结点时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。

M=3

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