网络流-EK求最大流

2021.8.17

网络流最大流解决什么问题？

网络流(network-flows)是一种类比水流的解决问题方法（摘自百度百科），最大流是求源点到汇点最大流量的方法。

算法原理

已知起点到终点，很容易想到深搜\广搜求最大值的方式，但是，在最大流问题中，会出现如下情况：

假设1为源点，4为汇点，若对其进行搜索，路径可能有1->2->3->4，随后标记数组有如下标记：

那么，此时，流经1-2线路的水流，汇入了3号节点最终流向4号节点，此时3-4路径已经被灌满，2-4路径没有水流流入，最终汇入汇点的水流量为1。

但是，对于上述情况，最大流应该是如下情形：

此时汇点流入流量为2.

那么，在建图顺序位置时，如何计算出最大的流量？

退回流量，构建增广路径，当流量汇入其他渠道并且有部分无法汇入汇点，那么就代表其应该回到原渠道，按照原渠道走，但是搜索起来肯定难以实现，因此需要建立一条相反的路径，让流过去的水流能有机会返回原来的渠道，并且最多返回流过去的水流。（不管水流走在哪里，只要流入汇点即可，不必求出其准确的路径）如下图：

如此，在1-3路径中的水流流入3号节点时，可以通过2-3路径流回2号节点，再从2-4路径流入4号汇点，此时便可得最大流量为2.（若1-3为2，则也只能退回1）.

但是通常情况下，退流一次并不会得到最大流，因此需要多次搜索多次退流。在EK求最大流中，每次选择在部分流量汇入汇点后，对路径的可行流进行更改，构建增广路径。此时图中每个点的残留量不影响结果，因再次搜索时只计算从源点流出的流量。

对其搜索时，正常进行搜索即可：

bool bfs() {queue<int>q;memset(vis, 0, sizeof vis);q.emplace(S); vis[S] = true, d[S] = 0x3f3f3f3f;while (!q.empty()) {int t = q.front(); q.pop();for (int i = head[t]; !i; i = nexte[i]) {int k = to[i];if (!vis[k] && wei[i]) {vis[k] = 1;d[k] = min(d[t], wei[i]);pre[k] = i;if (k == T)return true;q.emplace(k);}}}return false;
}

其中，d数组记录路径最多流过的流量，pre数组记录路径编号，当成功汇入汇点，则跳出。

每次对路径进行更新时，则对上一步搜索到的路径进行退流：

int EK() {int res = 0;while (bfs()) {//搜索直到没有可行流res += d[T];for (int i = T; i != S; i = to[pre[i] ^ 1])//建图时，反向边编号比正向边多1wei[pre[i]] -= d[T], wei[pre[i] ^ 1] += d[T];//构建增广路径}return res;
}

最终返回的res即为最大流。
注：正向路径同样要减去相应的流量大小，因路径已经被部分或全部占用。

模板代码

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<queue>using namespace std;int nexte[20005], wei[20005], to[20005], head[20005];
int n, m, S, T;
int idx;
int pre[20005], d[20005];
bool vis[20005];void addedge(int u, int v, int c) {to[idx] = v, wei[idx] = c, nexte[idx] = head[u], head[u] = idx++;to[idx] = u, wei[idx] = 0, nexte[idx] = head[v], head[v] = idx++;
}bool bfs() {queue<int>q;memset(vis, 0, sizeof vis);q.emplace(S); vis[S] = true, d[S] = 0x3f3f3f3f;while (!q.empty()) {int t = q.front(); q.pop();for (int i = head[t]; !i; i = nexte[i]) {int k = to[i];if (!vis[k] && wei[i]) {d[k] = min(d[t], wei[i])， pre[k] = i;if (k == T)return true;q.emplace(k);vis[k] = 1;}}}return false;
}int EK() {int res = 0;while (bfs()) {res += d[T];for (int i = T; i != S; i = to[pre[i] ^ 1])wei[pre[i]] -= d[T], wei[pre[i] ^ 1] += d[T];}return res;
}int main() {cin >> n >> m >> S >> T;memset(head, -1, sizeof head);for (int i = 0; i < m; i++){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;addedge(a, b, c);}cout << EK() << endl;return 0;
}