POJ-1651 Multiplication Puzzle 矩阵连乘问题（区间dp）

题意

给我们n个数让我们随意的跳出其中的数每挑出一个数计算代价为左边数* 当前数 * 右边的数
除了首尾两个数不选中间的数可以任意挑让我们求最小代价

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[110],m[110][110];
const int maxn = 0x7f7f7f;
int main()
{int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;for(int l=2;l<n;l++){// 区间长度从2开始 1没意义 for(int i=1;i<=n-l+1;i++){// 起始点从2 开始  int j = i+l-1;m[i][j] = maxn;//  cout<<"L:"<<l<<" "<<i<<" "<<j<<":"<<endl;for(int k = i;k<j;k++){// 枚举最后一个选择的位置 int t = m[i][k]+m[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j];//本次结果就是从i到k连起来的最小+从k+1到j连起来的最小+本次连起来后的代价 //  cout<<i-1<<" "<<k<<" "<<j<<" "<<t<<endl;m[i][j] = min(t,m[i][j]);//  system("pause");}}}printf("%d\n",m[2][n]);return 0;
}

分析

这道题开始看非常蒙
这该怎么做？
其实这道题可以转化成矩阵连乘问题
我们定义从i到j的最小代价其实就是从i 到k + 从k+1 到j的最小代价 + 中间分割的k的代价把i到j之间的k枚举一遍取最小
所以就得到了两个子问题
我们知道两个矩阵相乘总计算量就是p* r * q(p*r,r * q的两个矩阵)
有没有发现这里有点相似
每相邻的两个数就是矩阵的行和列
第i个矩阵式子为 a[i-1]*a[i]
所以从起始点从2开始才有意义
如果其实点从1开始没意义（a[i-1]为0 那么计算量为0）
第一个矩阵为前两个元素开始那么他的参数就是
a[1]∗a[2]a[1]*a[2]
所以这道题我们删掉一个元素时或是从中心合并两个结果时
加上额外的代价
也就是a[i−1]∗a[k]∗a[j]a[i-1] * a[k] * a[j]
这个就是、
第一个矩阵 a[i−1]∗a[k]a[i-1]*a[k]
第二个矩阵a[k]∗a[j] a[k]*a[j]
那么其抽象计算量就是
a[i−1]∗a[k]∗a[j]a[i-1] * a[k] * a[j]
就相当于两个矩阵相乘的总计算量

所以下标从2开始有意义
例如 3
1 2 3
抽象成矩阵为 1×2 2×3
那么答案就是 dp[2][n]
左边起始有意义的点为2 右边结束点其实就是n
为什么是n呢因为如果不把n算在内最终我们循环的
最大的j就是n 如果不考虑n 那么说明我们没考虑最后一个矩阵的最后一个参数
所以必须要时dp[2][n]
将原序列拆解后的矩阵序列
这道题其实就是相当于考虑剩余首尾两个元素
其余的全部拿出来的最小代价
注意第n个元素要算到第n-1个的计算量中所以第n个元素在矩阵问题中就是最后一个参数
这个参数是要合并的

如果全取
我们所要输出就是dp[1][n+1]了
这个问题之所以可以抽象成矩阵问题
因为我们要提出2-n-1的数然而在计算的过程中却把1和n也以a[i−1]∗a[k]∗a[j]a[i-1] * a[k] * a[j]的形式算进去了
也就是能够表示出矩阵计算量

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