【区间DP+高精】codevs1166 矩阵取数游戏题解

题目来自NOIP2007TG3

如果在考场上我现在已经歇菜了吧

今天一整天的时间全部投在这道题上，收获不小。

先上题目

题目描述 Description

【问题描述】
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m 的矩阵，矩阵中的每个元素aij均
为非负整数。游戏规则如下：
1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分= 被取走的元素值*2i，
其中i 表示第i 次取数（从1 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入描述 Input Description

第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1 行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

输出描述 Output Description

输出仅包含1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

样例输入 Sample Input

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出 Sample Output

数据范围及提示 Data Size & Hint

样例解释

第 1 次：第1 行取行首元素，第2 行取行尾元素，本次得分为1*21+2*21=6
第2 次：两行均取行首元素，本次得分为2*22+3*22=20
第3 次：得分为3*23+4*23=56。总得分为6+20+56=82

【限制】
60%的数据满足：1<=n, m<=30, 答案不超过1016
100%的数据满足：1<=n, m<=80, 0<=aij<=1000

首先读题后，我们发现行与行之间相互独立没有干扰，这样我们就可以读一行处理一行，每一行都是一个单独的问题，相当于给了n组数据，求出答案的和。

这样我们把空间从n²降到了n。

接下来开始考虑思路。不难发现，取走一部分数字后，剩下的数字总是形成一个区间。由于取走的数的个数已知，剩下的数字按顺序的权值也就知道了，由此得出，这是一个区间DP，和石子合并类似。它满足最优子结构，也满足无后效性。

用f[i][j]表示区间[i, j]的最优解，有两种解法

[cpp] view plain copy

f[i][j] = max(a[i] + 2 * f[i+1][j], a[j] + 2 * f[i][j-1]);//直接计算数的权值
f[i][j] = max(a[i]*2^(m-j+i) + f[i+1][j], a[j]*2^(m-j+i) + f[i][j-1])//每次翻倍

第一种，就是先做一个二的幂次方表，直接计算，很好理解。

第二种，也是更加方便的一种，只需要每次将小区间乘二即可，应用了乘法分配律的原理。进行完整个区间后，区间长度小乘的次数就多，最后的效果也是二的幂次方。应该也不难理解吧。

时间复杂度：O（n*m^2）

这样，我们这道题的框架就出来了，程序如下：

[cpp] view plain copy

//codevs1166 矩阵取数游戏区间DP+高精
//copyright by ametake
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=80+5;
const int maxl=32;
int n,m;
int a[maxn],f[maxn][maxn],aa[maxn],bb[maxn],ans[maxn];
int main()
{
int ans=0;
scanf("%d%d",&n,&m);//n行m列
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[j]);
for (int j=1;j<=m;j++) f[j][j]=a[j];
for (int j=1;j<=m-1;j++)//区间长度
{
for (int k=1;k<=m-j;k++)//起点
{
int l=k+j;
f[k][l] = max(a[k] + 2 * f[k+1][l], a[l] + 2 * f[k][l-1]);
}
}
ans+=2*f[1][m];
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

但是等等，为什么会CE？

我们假设一种极端情况，当矩阵为80*80，且每项为1000时，结果最大，为193428131138340667952988000000。

不用数啦，这个数字是30位的。

既然这样显然我们要用高精度了。我们没有JAVA神奇的大整数，但我们也不必像pascal那样酷比手写，我们有C++的重载运算符（pas也有但是你敢用吗= =被限制的死死的一不小心就报错而且并没有什么用）

第一次手写如此大规模的高精重载，我耗费了整整一上午的时间。

因为没有任何经验，我找到了CSDN IcEnternal的代码。在这里引用一下

[cpp] view plain copy

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; //代码非原创，来源CSDN用户IcEnternal 源地址http://blog.csdn.net/devillaw_zhc/article/details/7776578
const int power = 1; //每次运算的位数为10的power次方，在这里定义为了方便程序实现
const int base = 10; //10的power次方。
//要压位的时候，只需改power 和 base即可，如压万位高精，那么power = 4, base = 10000
const int MAXL = 1001; //数组的长度。
char a[MAXL], b[MAXL];
struct num
{
int a[MAXL];
num() { memset(a, 0, sizeof(a)); } //初始化
num(char *s) //将一个字符串初始化为高精度数
{
memset(a, 0, sizeof(a));
int len = strlen(s);
a[0] = (len+power-1) / power; //数的长度
for (int i=0, t=0, w; i < len ;w *= 10, ++i)
{
if (i % power == 0) { w = 1, ++t; }
a[t] += w * (s[i]-'0');
}
//初始化数组，这里自己模拟一下，应该很容易懂的~
}
void add(int k) { if (k || a[0]) a[ ++a[0] ] = k; } //在末尾添加一个数，除法的时候要用到
void re() { reverse(a+1, a+a[0]+1); } //把数反过来，除法的时候要用到
void print() //打印此高精度数
{
printf("%d", a[ a[0] ]);
//先打印最高位，为了压位或者该高精度数为0 考虑
for (int i = a[0]-1;i > 0;--i)
printf("%0*d", power, a[i]);
//这里"%0*d", power的意思是，必须输出power位，不够则前面用0补足
printf("\n");
}
} p,q,ans;
bool operator < (const num &p, const num &q) //判断小于关系，除法的时候有用
{
if (p.a[0] < q.a[0]) return true;
if (p.a[0] > q.a[0]) return false;
for (int i = p.a[0];i > 0;--i)
{
if (p.a[i] != q.a[i]) return p.a[i] < q.a[i];
}
return false;
}
num operator + (const num &p, const num &q) //加法，不用多说了吧，模拟一遍，很容易懂
{
num c;
c.a[0] = max(p.a[0], q.a[0]);
for (int i = 1;i <= c.a[0];++i)
{
c.a[i] += p.a[i] + q.a[i];
c.a[i+1] += c.a[i] / base;
c.a[i] %= base;
}
if (c.a[ c.a[0]+1 ]) ++c.a[0];
return c;
}
num operator - (const num &p, const num &q) //减法，也不用多说，模拟一遍，很容易懂
{
num c = p;
for (int i = 1;i <= c.a[0];++i)
{
c.a[i] -= q.a[i];
if (c.a[i] < 0) { c.a[i] += base; --c.a[i+1]; }
}
while (c.a[0] > 0 && !c.a[ c.a[0] ]) --c.a[0];
//我的习惯是如果该数为0，那么他的长度也是0，方便比较大小和在末尾添加数时的判断。
return c;
}
num operator * (const num &p, const num &q)
//乘法，还是模拟一遍。。其实高精度就是模拟人工四则运算！
{
num c;
c.a[0] = p.a[0]+q.a[0]-1;
for (int i = 1;i <= p.a[0];++i)
for (int j = 1;j <= q.a[0];++j)
{
c.a[i+j-1] += p.a[i]*q.a[j];
c.a[i+j] += c.a[i+j-1] / base;
c.a[i+j-1] %= base;
}
if (c.a[ c.a[0]+1 ]) ++c.a[0];
return c;
}
num operator / (const num &p, const num &q) //除法，这里我稍微讲解一下
{
num x, y;
for (int i = p.a[0];i >= 1;--i) //从最高位开始取数
{
y.add(p.a[i]); //把数添到末尾（最低位），这时候是高位在前，低位在后
y.re(); //把数反过来，变为统一的存储方式：低位在前，高位在后
while ( !(y < q) ) //大于等于除数的时候，如果小于的话，其实答案上的该位就是初始的“0”
y = y - q, ++x.a[i]; //看能减几个除数，减几次，答案上该位就加几次。
y.re(); //将数反过来，为下一次添数做准备
}
x.a[0] = p.a[0];
while (x.a[0] > 0 && !x.a[x.a[0]]) --x.a[0];
return x;
}
int main()
{
scanf("%s", a);
scanf("%s", b);
reverse(a, a+strlen(a));
reverse(b, b+strlen(b));
p = num(a), q = num(b);
ans = p + q;
ans.print();
ans = p - q;
ans.print();
ans = p * q;
ans.print();
ans = p / q;
ans.print();
}

上面这位前辈的代码写的相当简明易懂（相比wfwbz同学来说的确是这样），受益匪浅，但他的重载实在结构体外面写的。

我模仿着在结构体里写下了这样的代码（上述代码中并没有）：

[cpp] view plain copy

num operator = (int b) //将一个常数赋值给高精结构体
{
num c;
c.a[0]=0;
while (b)
{
c.a[0]++;
c.a[c.a[0]]=b%base;
b/=base;
}
return c;
}

以及

[cpp] view plain copy

num operator + (int b) //高精结构体加常数
{
num c;
c.a[0]=a[0];
c.a[1]+=b;
int i=1;
while (c.a[i]>=base)
{
c.a[i+1]+=c.a[i]/base;
c.a[i]%=base;
i++;
}
if (c.a[c.a[0]+1])++c.a[0];
return c;
}

然而令我百思不得其解的是，这两个代码跑出来都没有效果，具体来说就是这样的：

主函数输出：

[cpp] view plain copy

int main()
{
scanf("%s", a);
scanf("%s", b);
reverse(a, a+strlen(a));
reverse(b, b+strlen(b));
p = num(a), q = num(b);
ans = p + q;
ans.print();
ans=12345;
ans.print();
ans = ans + 50;
ans.print();
while (1);
return 0;
}

结果输入 111 222
第一次输出333 正确（其他大数据也正确）
第二次输出333 改成return *this输出12345
第三次输出50
如果输入的是大数据比如一万左右的第三次输出00050这样类似的

于是我翻出从前wfwbz神犇写的高精模板，参照那个把前面赋值常数改成了下面这样，尽管并不理解为什么，结果成功了

[cpp] view plain copy

num operator = (int b)
{
a[0]=0;
while (b)
{
a[0]++;
a[a[0]]=b%base;
b/=base;
}
return *this;
}

怎么调也没办法，里奥神犇表示爱莫能助。这时候我才深深体会到朋友和前辈的重要性。这道题目的解决，尤其要感谢广饶一中YQL同学和去年一等的那位神犇，清华的HYM神犇以及即将清华的Ag爷WYW神犇，耐心给我解释了两个小时···尤其是HYM前辈，小辈各种无知仍然不要其烦，深受感动。原本发出求助后以为没人注意我，结果一会儿大家都来回答，真的很感动= =

碎碎念到此为止，总之听了各位前辈的讲解总结出以下几点：

1.赋值号和加号作用原理不一样，分开讨论，不能一概而论。

2.对于赋值号，上述做法中的第一种错在不能重新定义一个num c，因为这个变量是局部变量，在整个函数（重载相当于跑一个函数）进行完的时候自动销毁收回内存。那么return c不起作用吗？不起作用。赋值号有自己的返回值。如果这里我们写(ans=123).print()，输出是123，因为这里输出的是返回值，赋值号return c，c=123，就输出123。但是return的这个c并没有赋值给等号左边，只返回一个值但没有效果。

那么怎么办呢？在operator中，对于赋值号左边有一个只在函数内壁生效的名称，那就是this。

this是一个指针，指向赋值号左边的元素。在这里，它指向被复制的num结构体。

也就是说，对*this操作就是在对等号左边操作。比如，我们想使ans.a[0]=b，就可以写(*this).a[0]=b，或者this->a[0]=b;更推荐后面一种写法。

最后，我们返回*this，作为赋值号的返回值。尽管并不太懂得赋值号返回值有什么用，但这样就能保证赋值和输出都正确。

更改后就是上面的第二种写法

3.对于加号，结构体加结构体的话，可以开一个临时结构体c，由于最后起作用的是赋值号，这个c会被赋值给左边的ans。但是，如果写结构体加常数就不可以。

为什么呢？HYM神犇是这样说的

[plain] view plain copy

这两个确实是不一样的，你先记忆一下好了。大学会学的。

这是什么鬼= =

总之大概是我的智商难以承受的东西吧···ORZ神犇的世界

总之更改之后，应当是这样子：

[cpp] view plain copy

num operator + (const int &b)
{
this->a[1]+=b;
int i=1;
while (this->a[i]>=base)
{
this->a[i+1]+=this->a[i]/base;
this->a[i]%=base;
i++;
}
if (this->a[this->a[0]+1])this->a[0];
return *this;
}

由于成员函数定义在结构体内部，可以用a[1]代替this->a[1]，简化后，应当是这样：

[cpp] view plain copy

num operator + (const int &b)//this->都可以省略
{
a[1]+=b;
int i=1;
while (a[i]>=base)
{
a[i+1]+=a[i]/base;
a[i]%=base;
i++;
}
if (a[a[0]+1])a[0]++;
return *this;
}

而且事实上并不需要&b 直接const传数字就好（广饶一中神犇语）

这里还要补充一个小问题，由WYW神犇友情解答：

[cpp] view plain copy

bool operator < (const num &b)const

最后为什么要加const？

答：需要用到stl就要加const。这只是为了兼容一些stl了，加上const声明保证在这个函数里面不会改变结构体成员的值，否则stl会报错。

最后的最后，我之所以调了一下午代码，仅仅是因为一个低级错误：

[cpp] view plain copy

c.a[i]+=a[i]+b.a[i];

应该是+=但我第一次写成了= 这样进位的时候直接挂= =

事实证明，千里之堤，溃于蚁穴。细节决定成败TUT

好了，讲完了，放出代码君：

[cpp] view plain copy

//codevs1166 矩阵取数游戏区间DP+高精
//copyright by ametake
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=80+5;
int n,m;
int a[maxn];//以上是非高精类定义
const int power=4;
const int base=10000;
const int maxl=10;
/*
*需要用到
*高精加高精（状态转移时数组加数组）
*高精加单精（状态转移时a[k]+f[i][j]）
*重载等号用于把int赋值给结构体
*把f数组开成结构体，每个结构体都是一个高精数
*按普通数组读入，高精处理
*可以尝试一下，先写出来框架
*/
struct num
{
int a[maxl];
num()
{
memset(a,0,sizeof(a));
}
num operator + (const num &b)
{
num c;
c.a[0]=max(a[0],b.a[0]);
for (int i=1;i<=c.a[0];i++)
{
c.a[i]+=a[i]+b.a[i];
c.a[i+1]+=c.a[i]/base;
c.a[i]=c.a[i]%base;
}
if (c.a[c.a[0]+1])++c.a[0];
return c;
}
num operator + (const int &b)//this->都可以省略
{
a[1]+=b;
int i=1;
while (a[i]>=base)
{
a[i+1]+=a[i]/base;
a[i]%=base;
i++;
}
if (a[a[0]+1])a[0]++;
return *this;
}
num operator = (int b)
{
a[0]=0;
while (b)
{
a[0]++;
a[a[0]]=b%base;
b/=base;
}
return *this;
}
bool operator < (const num &b)const//必须加const
{
if (a[0] < b.a[0]) return true;
if (a[0] > b.a[0]) return false;
for (int i = a[0];i > 0;--i)
{
if (a[i] != b.a[i]) return a[i] < b.a[i];
}
return false;
}
void print()
{
printf("%d", a[ a[0] ]);
//先打印最高位，为了压位或者该高精度数为0 考虑
for (int i = a[0]-1;i > 0;--i)
printf("%0*d", power, a[i]);
//这里"%0*d", power的意思是，必须输出power位，不够则前面用0补足
printf("\n");
}
}ans,f[maxn][maxn];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);//n行m列
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[j]);
for (int j=1;j<=m;j++) f[j][j]=a[j];//如何赋值？可以尝试重载等号
for (int j=1;j<=m-1;j++)//区间长度
{
for (int k=1;k<=m-j;k++)//起点
{
int l=k+j;
//f[k][l] = max(a[k] + f[k+1][l] + f[k+1][l], a[l] + f[k][l-] + f[k][l-1]);//这样写无法识别除非在结构体外面写或者重载前加friend
f[k][l] = max(f[k+1][l] + f[k+1][l] + a[k], f[k][l-1] + f[k][l-1] + a[l]);//高精加即可重载一下加号用于高精加单精
}
}
ans = ans + f[1][m];
ans = ans + f[1][m];
}
ans.print();
return 0;
}
/*
//先写朴素框架，再改成高精版本 16:56
int main()
{
int ans=0;//高精的时候要改
scanf("%d%d",&n,&m);//n行m列
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[j]);
for (int j=1;j<=m;j++) f[j][j]=a[j];
for (int j=1;j<=m-1;j++)//区间长度
{
for (int k=1;k<=m-j;k++)//起点
{
int l=k+j;
f[k][l] = max(a[k] + 2 * f[k+1][l], a[l] + 2 * f[k][l-1]);
}
}
ans+=2*f[1][m];
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
*/</algorithm></cstring></cstdio>

——西塞山前白鹭飞，桃花流水鳜鱼肥

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