第1章 预备知识

1.1 复习笔记

一、集合

1基本概念

集合是指若干个或无穷多个具有相同属性的元(元素)的集体。通常，一个集合名称用大写字母表示，而集合中的某个元素用小写字母表示。如果集合M由n(n≥0)个元素a1，a2，…，an组成，则称集合M为有限集。如果一个集合中有无穷多个元素，则称此集合为无限集。不包括任何元素的集合称为空集。空集通常用Φ表示。如果M是一个集合，a是集合M中的一个元素，则记作a∈M，称元素a属于集合M；如果a不是集合M中的元素，则记作a?M，称元素a不属于集合M。

(1)列举法

用列举法表示一个集合是将此集合中的元素全部列出来，或者列出若干项但能根据规律可知其所有的元素。例如：

大于1而小于100的所有整数的集合A可以表示为

A={2，3，4，…，99}

(2)性质叙述法

用性质叙述法表示一个集合是将集合中的元素所具有的属性描述出来。例如：

大于1而小于100的所有整数的集合A可以表示为

A={a | 1< a <100 的所有整数}

设M与N为两个集合，若M中的每个元素也为N的元素，则称M为N的子集，记作M?N，若M?N且N中至少有一个元素a?M，则称M为N的真子集，记作M?N。

2基本运算

(1)两个集合的并

设有两个集合M和N，它们的并集记作M∪N，定义如下：

M∪N={a | a∈M或a∈N}

(2)两个集合的交

设有两个集合M和N，它们的交集记作M∩N，定义如下：

M∩N={a | a∈M且a∈N}

两个集合M和N的并、交均满足交换律，即

M∪N=N∪M

M∩N=N∩M

(3)两个集合的差

设有两个集合M和N，它们的差集记作M-N，定义如下：

M-N={a | a∈M但a?N}

两个集合的差不满足交换律，即

M-N≠N-M

对于集合的并、交、差有以下几点基本性质：

①结合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

②分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

③其他

(4)映射

映射的相关概念如下：

①设A、B是两个非空集，如果根据一定的法则f，对于每一个x∈A，在B中都有**确定的y与之对应，则称f为定义在A上而在B中取值的映射，记作f：A→B，并将x与y的关系记作y = f(x)，x称为自变元，y称为在f作用下x的像；

②设给定映射f：A→B，且B = f(A)，若对于每个y∈B仅有**的x∈A使f(x)= y，则称f有逆映射f-1；

③若A、B两个集合有一一映射f存在，使f(A)= B，则称A与B成一一对应，A与B对等，记作A～B。

集合的对等具有以下性质：

自反性：A～A；

对称性：若A～B，则B～A；

传递性：若A～B且B～C，则A～C。

3自然数集与数学归纳法

由所有自然数组成的集合{1，2，3，…}称为自然数集。自然数集是一个无限集。由自然数组成的集合均是自然数集的子集。自然数集的子集可以是有限集，也可以是无限集。它们具有如下性质：

(1)在自然数集的任一非空子集M中，必定有一个最小数；

(2)设M是由自然数形成的集合，如果它含有1，2，…，k，并且当它含有数n-1，n-2，…，n-k(n>k)时，那么它含有所有的自然数，即M是自然数集。

4笛卡儿积

设有n个集合D1，D2，…，Dn，此n个集合的笛卡儿积定义为

其中(d1，d2，…，dn)称为n元组，di称为n元组的第i个分量。

由笛卡儿积的定义可以看出，n个集合的笛卡儿积是以n元组为元素的集合，而每一个n元组中的第i个分量取自于第i个集合Di。

5二元关系

(1)笛卡儿积

设M和N是两个集合，则其笛卡儿积

M×N={(x，y) | x∈M且y∈N}

其中每一个子集称为在M×N上的一个二元关系。

如果M = N，则其笛卡儿积

M×M={(x，y) | x，y∈M}

其中每一个子集称为在集合M上的一个二元关系，简称为在集合M上的一个关系。

(2)前后件、自反、对称与传递

设R是集合M上的一个关系：

①如果(a，b)∈R，则称a是b的关于R的前件，b是a的关于R的后件；

②如果对于每一个a∈M，都有(a，a)∈R，则称关系R是自反的；如果对于任何a∈M，(a，a)∈R均不成立，则称关系R是非自反的；