一：常用卷积

\[1 * \mu = \epsilon\]

\[Id * \mu = \varphi\]

\[1 * \varphi = Id \]

最后一个是欧拉反演.

根据这些卷积之间的相互转化，在推式子时只要够敏感，就能巧妙地化简。（如P3768简单的数学题）

二：推式子的技巧

1. 改变枚举对象、枚举顺序

比如
\[ \begin{aligned} 1. &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=p]\\ =&\sum_{x=1}^{\frac{n}{p}}\sum_{y=1}^{\frac{n}{p}}[gcd(i,j)=1]\\ 2.&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\\ =&\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)=1] \end{aligned} \]

当一个一个数不受之前的 \(\sum\) 限制时可提前

2. 替换变量，优化复杂度(式子中不必要的枚举)

比如求这个：

\[ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^nk\sum_{d=1}^\frac{n}{k}\mu(d)\frac{n}{dk}\frac{m}{dk}\\ =&\sum_{T=1}^n\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum_{d|T}\frac{T}{d}\mu(d) \end{aligned} \]

为什么这样？

其实替换变量也是为了改变枚举顺序，然后就可以愉快地整除分块了。

3. 一些连乘可以化成指数的 \(\sum\) 形式

如P3704数字表格

这里不展开叙述 ~~(其实是写的题太少)~~

三：筛积性函数前缀和

转载自浅谈积性函数的线性筛法

题目：

P2257 YY的GCD

P3327 [SDOI2015]约数个数和

P3455 [POI2007]ZAP-Queries

P2522 [HAOI2011]Problem b

CF920G List Of Integers

P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

P3704 [SDOI2017]数字表格

P4449 于神之怒加强版

由于本蒟蒻做题太少未完待续...

转载于:https://www.cnblogs.com/cnyali-Tea/p/10427721.html

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