如果常数项没有经过显著性检验_时间序列（一）：平稳性、自相关函数与LB检验...

前言

略过介绍性的知识，直接怼重难点。

1. 平稳性 Stationarity

直观上看当数据没有明显的模式特征的话（趋势性、季节性），我们认为它是平稳的。定义上“平稳”指固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。其数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。

在时间序列预测的过程中，我们首先要判断数据是否具有平稳性。如果非平稳，除去趋势性和季节性的特征，使其达到平稳状态对于准确地预测数据有至关重要的作用。

E(Yt) = μ 期望为常数

Var(Yt) =σ2 方差为常数

Cov(Yt , Yt+k) = E[( Yt - μ)( Yt+k - μ )]=rk 任意两个时期之间的协方差仅依赖于这两个时期的距离。当k确定，这也是常数，这条就是接下来重点理解的。

附：以上讲的严格来说都叫弱平稳性 Stationarity（weak），而强平稳性是要求 Yt 与 Yt+k 的概率分布完全一致。我们一般用弱平稳性的定义就足够了。

2. 自相关函数

因为时间序列这种数据的特点是一维，勇往直前永不回头。根据这种数据特点，形成了自协方差、自相关函数、偏自相关函数等。看到前面都加了一个自，原因是时间序列没法找到一个别的数据和自己来进行比较；只能自己和自己来比较(Yt , Yt+k)。

自协方差 autocovariance

首先回顾下协方差，是衡量两个随机变量X，Y的线性相关性或独立性的一个指标：

现实中，以样本协方差estimate协方差：

那么在平稳性的条件下，自协方差Cov( Xt, Xt+k )== E[( Xt - μ )( Xt+k - μ )] 的estimate：

当k确定，ck 也是个常数，无论 Xt 的位置。

在时间序列{ X1, X2, X3, ..., Xn }中，现实样本为{ x1, x2, x3, ..., xn }。

Xt 与 Xt+k 对应分别的两组样本。比如k=1时，

Xt 的样本为 { x1, x2, x3, ..., xn }，而 Xt+1 的样本为 { x2, x3, x4..., xn }。在平稳性条件下，这两组样本的均值都是：

自相关函数 autocorrelation function（ACF）

Xt 与 Xt+k 的自相关系数即（自协方差 / k=0时的自协方差），分母也等于 Xt 的方差。

所以自相关系数ρk的estimate：

r0 永远等于一, rk称为样本自相关函数(ACF)。

自相关图 correlogram

样本xt 与 xt+k，把k从0到n的自相关系数求出并直线如下图所示。横坐标是lag，即k值。

3. 偏相关函数(PACF)

表达式为PCorr( Xt，Xt+k | Xt+1，...，Xt+k-1 ）

滞后k自相关系数p(k)时，实际上得到并不是x(t)与x(t-k)之间单纯的相关关系。
因为x(t)同时还会受到中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和x(t-k)具有相关关系，所以自相关系数p(k)里实际掺杂了其他变量对x(t)与x(t-k)的影响。
为了能单纯测度x(t-k)对x(t)的影响，引进偏自相关系数的概念。对于平稳时间序列{x(t)}，所谓滞后k偏自相关系数指在给定中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的干扰之后，x(t-k)对x(t)影响的相关程度。
参考：请高手指点自相关函数和偏自相关函数的区别？ - 计量经济学与统计软件 - 经管之家(原人大经济论坛)

具体estimate的公式较为复杂，因为软件都能求，就不贴上来了。同样也有类似自相关图的自偏相关图，之后会多次出现。

4. 混成检验/Ljung-Box test(LB 检验)

当k>0的自相关函数中所有的值都为0时，我们认为该序列是完全不相关的（白噪声）。我们经常需要检验多个自相关系数是否为0。

H0：ρ1=…=ρh=0

原本的数据都是独立的，能观察到的某些相关仅仅产生于随机抽样的误差。

H1：∃k∈1,…,h, ρk≠0

原本的数据不是独立的，即至少存在某个

,其中

。

构造的统计量是：

，其中n是样本数量,

是样本k阶滞后的相关系数，该统计量服从自由度为h的卡方分布。给定显著性水平

,则拒绝域是

。接受原假设意味着，认为原序列是白噪声序列，否则认为序列存在相关性。

可以先不用理解，因为大部分软件会给出Q(h)的p-value，则当p-value小于等于显著性水平 α时拒绝H0。

acf,q,p = sm.tsa.acf(data,nlags=10,qstat=True)  # 计算10个lag的自相关系数 及p-value
out = np.c_[range(1,11), acf[1:], q, p]
output=pd.DataFrame(out, columns=['lag', "AC", "Q", "P-value"])
output = output.set_index('lag')
output

我们取显著性水平为0.05，可以看出，所有的p-value都小于0.05；则我们拒绝原假设H0。

因此，我们认为该序列是序列相关的。

参考课程：

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