一、时间序列平稳性

时间序列分析之ADF检验

1、ADF检验

在使用很多时间序列模型的时候，如 ARMA、ARIMA，都会要求时间序列是平稳的，所以一般在研究一段时间序列的时候，第一步都需要进行平稳性检验，除了用肉眼检测的方法，另外比较常用的严格的统计检验方法就是ADF检验，也叫做单位根检验。

1.1、ADF检验原理

ADF检验就是判断序列是否存在单位根：如果序列平稳，就不存在单位根；否则，就会存在单位根。

所以，ADF检验的 H0 假设就是存在单位根，如果得到的显著性检验统计量小于三个置信度（10%，5%，1%），则对应有（90%，95，99%）的把握来拒绝原假设。

1.2、ADF的python实现

ADF检验可以通过python中的 statsmodels 模块，导入adfuller函数

# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 2021/5/19 15:13
# @Author : Orange
# @File : Stationarity.pyfrom statsmodels.tsa.stattools import *
# 时间序列平稳性检验，ADF检验
result = adfuller(P_data)
print(result)

(-9.087535016007157, 3.9034351012238036e-15, 3, 2973, {‘1%’: -3.432551464895929, ‘5%’: -2.8625126635320393, ‘10%’: -2.567287774919901}, 24322.072376998112)

1%、%5、%10不同程度拒绝原假设的统计值和ADF Test result的比较，ADF Test result同时小于1%、5%、10%即说明非常好地拒绝该假设（这里原假设是存在单位根，即时间序列为非平稳的。)，本数据中，adf结果为-9，小于-3.432551464895929，说明有99%的把握认为原序列平稳。
P-value是否非常接近0。本数据中，P-value 为3.9034351012238036e-15<0.05，也可以从另一方面说明序列平稳。

因此这个时间序列是平稳的。

封装一下

# adf 稳定性检验
def stationarity_test(dataset, number):data = dataset.copy()data = data[: len(data) - number]  # 不检测最后number个数据# 平稳性检测from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADFdiff = 0adf = ADF(data)while adf[1] > 0.05: # 用概率判断，若p<0.05，认为序列平稳diff = diff + 1adf = ADF(data.diff(diff).dropna())  # 对序列求1阶差分后，判断其是否平稳print(u'原始序列经过%s阶差分后归于平稳，p值为%s' % (diff, adf[1]))return adfadf = stationarity_test(ar, 0)
print("adf:", adf)

2、ACF和PACF

自相关图
偏自相关图
如何根据自相关（ACF）图和偏自相关（PACF）图选择ARIMA模型的p、q值

ACF：衡量yty_tyt和yt−ky_{t-k}yt−k在k=1,2,3...k=1,2,3...k=1,2,3...时的相关性，横坐标为k
PACF：若回顾之前我们所说过的，自相关图（ACF Plot）反映了自回归中yty_tyt和yt−ky_{t-k}yt−k在不同k取值时的相关性，若yty_tyt和yt−1y_{t-1}yt−1有相关性，则yt−1y_{t-1}yt−1和yt−2y_{t-2}yt−2必然具有相关性，然而yty_{t}yt和yt−2y_{t-2}yt−2也必然相关，因为他们都与yt−1y_{t-1}yt−1相关，而不是因为$ y_{t-2}包含新的信息可以预测包含新的信息可以预测包含新的信息可以预测y_{t}$ 。而偏自相关图，可以反映在移除1,2...k−11,2...k-11,2...k−1延迟的情况下，yt−ky_{t-k}yt−k对yty_{t}yt的影响

平稳性：肉眼来看，一个平稳的时间序列，它是在一个水平线附近上下波动，没有明显的趋势性和季节性。平稳的时间序列具有短期的自相关性，

1)如果在自相关图中，lag越大，自相关系数越小并很快衰减为接近于0，那就说明该时间序列具有短期相关性，是平稳时间序列。
2)如果在自相关图中，lag越大，自相关系数并不是衰减为0，而是继续变为负数，那就说明该时间序列不具有短期相关性，不是平稳时间序列。

自相关图和偏相关图

# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 2021/5/19 15:13
# @Author : Orange
# @File : Stationarity.pyfrom statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acfplot_acf(P_data.dropna(),lags=1440*10)
plt.show()plot_acf(P_data.dropna(),lags=1440*10)
plt.show()

（1）白噪声自相关系数很快就衰减到0附近，是明显的平稳序列。滞后期为0时自相关系数和偏自相关系数其实就是序列自己和自己的相关性，故为1；滞后期为1时，自相关系数为0，表示白噪声无自相关性。(2) 随机游走，自相关系数下降非常缓慢，故为非平稳序列；另从偏自相关系数中可以看到随机游走只和前一项有关。(3) GDP数据的自相关图中也可以看到存在一定的周期性，滞后4、8、12等自相关系数较大下降较慢，差分后下降多一些起到一定效果，认为差分后序列是平稳的。同可视化数据一样，直观判断带有较强主观性，但能让我们对数据有更直观的认识。
注：这种方式比较主观，不推荐

二、白噪声检验

白噪声

白噪声检验也称为纯随机性检验，当数据是纯随机数据时，再对数据进行分析就没有任何意义了，所以拿到数据后最好对数据进行一个纯随机性检验。

可以通过调用statsmodels.stats.diagnostic里的acorr_ljungbox实现

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
lb, p = acorr_ljungbox(data, lags=1)

返回值

lbvalue:测试的统计量
pvalue:基于卡方分布的p统计量，pvalue<0.05，说明不是白噪声

# 白噪声检验
# 白噪声检验
def whitenoise_test(dataset, number):data = dataset.copy()data = data[: len(data) - number]  # 不使用最后number个数据# 白噪声检测from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungboxl = acorr_ljungbox(data, lags=1)p=l['lb_pvalue'].values[0]if p < 0.05:print(u'原始序列为非白噪声序列，对应的p值为：%s' % p)else:print(u'原始该序列为白噪声序列，对应的p值为：%s' % p)l= acorr_ljungbox(data.diff().dropna(), lags=1)p=l['lb_pvalue'].values[0]if p < 0.05:print(u'一阶差分序列为非白噪声序列，对应的p值为：%s' % p)else:print(u'一阶差分该序列为白噪声序列，对应的p值为：%s' % p)whitenoise_test(pd.Series(ar), 0)

补充：白噪声序列是一个平稳的时间序列，无周期性、无趋势性，无自相关性
白噪声检验
时间序列分析

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