【概述】

卡特兰数列是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, ......

卡特兰数首先是由欧拉在计算对凸 n 边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，即在一个凸 n 边形中，通过不相交于 n 边形内部的对角线，把 n 边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用 Hn 表示，Hn 即为卡特兰数。

【公式】

1.递归公式 1

$f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$

2.递归公式 2

$f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{(n+1)}$

3.组合公式 1

$f(n)=\frac{C_{2n}^n}{(n+1)}$

4.组合公式 2

$f(n)=C_{2n}^n-C^{n-1}_{2n}$

【应用】

二叉树的计数：已知二叉树有 n 个结点，求能构成多少种不同的二叉树
括号化问题：一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如：(())()也是合法表达式，现给出 n 对括号，求可以组成的合法表达式的个数
划分问题：将一个凸 n+2 多边形区域分成三角形区域的方法数
出栈问题：一个栈的进栈序列为1,2,3,..n，求不同的出栈序列有多少种
路径问题：在 n*n 的方格地图中，从一个角到另外一个角，求不跨越对角线的路径数有多少种
握手问题：2n 个人均匀坐在一个圆桌边上，某个时刻所有人同时与另一个人握手，要求手之间不能交叉，求共有多少种握手方法

【实现】

1.n<=35 的卡特兰数的实现

LL h[36];
void init() {h[0]=h[1]=1;for(int i=2; i<=35; i++) {h[i]=0;for(int j=0; j<i; j++)h[i]=h[i]+h[j]*h[i-j-1];cout<<h[i]<<endl;}
}

2.n<100 的卡特兰数的实现

#define BASE 10000
int a[100+5][100];
void multiply(int num,int n,int b) {//大数乘法int temp=0;for(int i=n-1; i>=0; i--) {temp+=b*a[num][i];a[num][i]=temp%BASE;temp/=BASE;}
}
void divide(int num,int n,int b) {//大数除法int div=0;for(int i=0; i<n; i++) {div=div*BASE+a[num][i];a[num][i]=div/b;div%=b;}
}
void init(){memset(a,0,sizeof(a));a[1][100-1]=1;for(int i=2; i<=100; i++) {memcpy(a[i],a[i-1],sizeof(a[i-1]));multiply(i,100,4*i-2);divide(i,100,i+1);}
}
int main() {init();int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int i;for(i=0;i<100 && a[n][i]==0;i++);printf("%d",a[n][i++]);for(;i<100;i++)printf("%04d",a[n][i]);printf("\n");}return 0;
}

【例题】

小兔的棋盘（HDU-2067）(n<=35的卡特兰数)：点击这里
Game of Connections（POJ-2084）(n<100的卡特兰数)：点击这里
小a的学期（2019牛客寒假算法基础集训营 Day1-H）(卡特兰数列+组合数取模)：点击这里

组合数学 —— 卡特兰数列（Catalan）相关推荐

卡特兰数列(Catalan)
简介卡特兰数又称卡塔尔数,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列.其前几项为: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, - 朴素递推公式快速计算公式递推公式2: h ( n ...
卡特兰数列(Catalan )
简述卡特兰数又称卡塔兰数,它是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列,其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 587 ...
算法基础 - 数论 | 组合数学卡特兰数(Catalan number)定义、证明及例题
写在前面:卡特兰数这东西感觉挺常用的,并且公式很简单,那就花一下午总结一下,学点皮毛吧(反正遇到我还是不会 ) [PDF] 大三上组合数学课堂讲义文章目录卡特兰数定义卡特兰数的性质卡特兰数证明 ...
卡特兰（Catalan）数列
卡特兰数又称卡塔兰数,英文名 Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名,其前几项为 : 1 ...
卡特兰（Catalan）数
参考:http://lanqi.org/skills/10939/ 卡特兰(Catalan)数来源于卡特兰解决凸n+2边形的剖分时得到的数列Cn,在数学竞赛.信息学竞赛.组合数学.计算机编程等方面都会 ...
卡特兰数catalan证明及应用举例
卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.其计算公式是 Cn=Cn2nn+1=(2n)!(n+1)!n!,n为自然数 C n = C 2 n n n + 1 = ( 2 n ) ! ( n ...
「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的数列（卡特兰数列）
「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的数列 Description 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件: (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai ...
卡特兰数 Catalan number
卡特兰数 Catalan number 卡特兰数前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 74290 ...
ZZNU-OJ-2119 : 告辞，【卡特兰数列，组合数学】
2119 : 告辞时间限制:1 Sec 内存限制:256 MiB 提交:428 答案正确:102 提交状态编辑讨论区题目描述整个世界都在散发着恋爱的恶臭,只有spring依旧保持着单身贵族 ...

组合数学 —— 卡特兰数列（Catalan）