动态规划（三）——最少硬币和所有硬币问题

硬币问题

一、最少硬币问题
二、打印最少硬币组合
三、所有硬币组合
- 3.1硬币数量不限制
- 3.2硬币数量限制

一、最少硬币问题

有n种硬币，面值为v1…vn，数量无限，选用硬币，使其和金额为s，要求求出最少的硬币组合。

首先我们应该有打表的思想，将任意金额的最少硬币组合数量存到一个数组里，输入一个金额时就可以直接查询数组中对应的硬币最少数量。

定义一个int Min[MONEY]，Min[i]是金额i对应的最少硬币数量。Min[i]这样记录子问题最优解的数据称为“状态”。

讲解以5种面值（1、5、10、25、50）的硬币为例：

第一步：只使用1分硬币。
初始值Min[0] = 0，表示0个硬币可以表示0金额，其他的Min[i]为无穷大。
那Min[1]如何计算？
这时可以在Min[0]的基础上加一个1分硬币，此时Min[1] = Min[0] + 1 = Min[1] = Min[1-1] +1 。
此时可以推导出第一个递推公式：
Min[i] = min(Min[i]，Min[i-1]+1)
故只用1分硬币的组合结果如下：
第二步：在使用1分硬币的基础上增加第二大面值的5分硬币
此时要在第一步状态的基础上从金额为5开始转换（若金额小于5时，不能用5分硬币替换）
i = 5时，相当于在i = 0的基础上加一个5分硬币，得到Min[5] = Min[5-5] +1 = 1。
1分硬币+5分硬币组合的结果如下：
第一步i=5时，只用1分硬币状态的结果Min[5] = 5，此时根据推导公式
Min[i] = min(Min[i]，Min[i-5]+1)
可知，Min[5-5]+1=1比 Min[5]=5更小，故Min[5]=1。
第三步：继续处理其他面值的硬币。
接下来就是在第二步的基础上将面值为10的硬币转换。
例如i= 10时，相当于在i = 0的基础上加了一个10分硬币，此时Min[10] = Min[10-10] + 1 = 1。
又第二步中Min[10] = 2，
故Min[10] = min(Min[10] ，Min[10-10]+1) = Min[10-10]+1 = 1。

所以找出规律，所有面值的递推公式都是：
Min[i] = min（Min[i]，Min[i-面值]+1）

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;const int money = 200; //定义最大金额
const int num = 5;     //五个硬币
int type[num] = {1,5,10,25,50};        //五种面值
int Min[money];void solve() {for (int i = 1; i < money; i++)Min[i] = INT_MAX;//初始值为无穷大Min[0] = 0;for (int i = 0; i < 5; i++) {for (int j = type[i]; j <= money; j++) {Min[j] = min(Min[j], Min[j-type[i]]+1);}}
}
int main() {fiosolve();int s;while (cin >> s) {cout << Min[s] << endl;}
}

二、打印最少硬币组合

若要打印最少硬币的组合方案，就存一个记录金额 i 所需要的最后一种面值的数组Min_Path[]，用这个数组倒推即可得到硬币组合方案。

查询 i 的最优组合：

查询Min_Path[i]，并得到结果k1
i-k1=a1,并得到Min_Path[a1] = k2
a1-k2 = a2，继续计算Min_Path[a2]。
重复计算坐标与对应Min_Path[]数组的差值，并计算Min_Path[差值]的结果，直到计算结果为0。

得出的k1…kj即为结果

如图，计算出Min[]和Min_Path[]：
实例解释，当i=7时：
①Min_Path[7] = 5，说明金额为7的组合中最后一张需要的面值为5。
②Min_Path[7-5]=Min_Path[2] = 1，表示接下来需要的最后一张面值为1。
③Min_Path[2-1]=Min_Path[1]=1，还有一张面值为1。
故i=7时，组合为5分硬币+1分硬币+1分硬币。

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;const int money = 200; //定义最大金额
const int num = 5;     //五个硬币
int type[num] = {1,5,10,25,50};        //五种面值
int Min[money];
int Min_Path[money];
void solve() {for (int i = 0; i < money; i++)Min[i] = INT_MAX; Min[0] = 0;for (int i = 0; i < num; i++) {for (int j = type[i]; j < money; j++) {if (Min[j] > (Min[j-type[i]]+1)) {Min[j] = Min[j-type[i]]+1;Min_Path[j] = type[i];}}}
}
void print(int *Min_Path, int s) {while (s) {printf("%d ", Min_Path[s]);s -= Min_Path[s];}
}
int main() {fioint s;solve();while (cin >> s) {cout << Min[s];print(Min_Path, s);}
}

三、所有硬币组合

3.1硬币数量不限制

有n种硬币，面值为v1，v2……vn，数量无限。输入非负整数s，选用硬币，使其和为s，输出所有可能的硬币组合数量。

定义一个记录状态的数组int dp[]，dp[i]表示金额i所对应的组合方案数。需要找到dp[i]和dp[i-1]的递推关系。

同样是用1,5,10,25,50五种面值的硬币：

第一步：只用1分硬币。
dp[0] = 1设为初始值，其余为0。
dp[1] = dp[1]+dp[0] = 0+1。
对于其他dp[i]也有dp[i] = dp[i]+dp[i-1]，这称为状态转移方程。
第二步：加上5分硬币。
i>=5时，dp[i] = dp[i]+dp[i-5]
第三步：继续处理其他面值硬币的情况。
同理有dp[i] = dp[i]+dp[i-10]，dp[i] = dp[i]+dp[i-25]，dp[i] = dp[i]+dp[i-50]

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;const int money = 200; //定义最大金额
const int num = 5;     //五个硬币
int type[num] = {1,5,10,25,50};        //五种面值
int dp[money];void solve() {dp[0] = 1;for (int i = 0; i < num; i++) {for (int j = type[i]; j < money; j++) {dp[j] = dp[j]+dp[j-type[i]];}}
}
int main() {fioint s;solve();while (cin >> s) {cout << dp[s] << endl;}
}

3.2硬币数量限制

HDOJ2069-硬币找零

问题描述
假设有5种硬币：50美分，25美分，10美分，5美分和1美分。我们希望以给定的金额使用这些硬币进行更改。

例如，如果我们有11美分，则可以用一枚10美分硬币和一枚1美分硬币，或两枚5美分硬币和一枚1美分硬币，或一枚5美分硬币和六枚1美分硬币进行组合或11个1分硬币。因此，使用上述硬币，有四种方法可以组合11分钱。

编写一个程序，以查找以美分计的任何金额进行组合的不同方式的总数，硬币数量num<=100。

输入项
输入文件包含任意数量的行，每行包含一个数字（≤250），以分币为单位。

输出量
对于每条输入线，输出一条线，其中包含使用上述5种硬币进行更改的不同方式的数量。

样本输入

11
26

样本输出

4
13

这道题要求硬币不能多于100个，因此我们可以建立一个转移矩阵，定义状态为dp[i][j]。其中横向是金额（i<=250），纵向是硬币数（j<=100）。

第一步：只用一分硬币。
type[5] = {1,5,10,25,50}
初始化dp[0][0] = 1，其他为0，从dp[0][0]推导后面的状态。
例如dp[1][1]是dp[0][0]进行金额+1、硬币数量+1后的状态转移，状态转移后组合方案数量不变，即dp[0][0] = dp[1][1] = 1。
dp[1][1] = dp[1][1]+dp[0][0]= dp[1][1]+dp[1-1][1-1]
=>
dp[1][1] = dp[1][1]+dp[1-type[0]][1-1]
=> dp[i][j] = dp[i][j]+dp[1-type[0] ][j-1]
对所有dp[i][j]执行如上操作，看图可观察到红色剪头的规律。
第二步：加上五分硬币。
当i>=5时，dp[i][j] = dp[i][j]+dp[i-5][j-1]。
dp[i][j] = dp[i][j]+dp[i-type[1]][j-1]。
第三步：处理其他面值的硬币
dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i-type[k]][j-1]，k=2，3，4

矩阵元素dp[i][j]的含义是用j个硬币实现金额i的方案数量。
例如表中dp[6][6]=1，表示用6个硬币凑出6分钱，只有一种方案，即6个1分钱，表中空格即0表示没有方案。
该表中纵坐标相加，就是某金额对应的方案总数。

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;const int coin = 101;
const int money = 251; //定义最大金额
const int num = 5;     //五个硬币
int type[num] = {1,5,10,25,50};        //五种面值
int dp[money][coin];void solve() {dp[0][0] = 1;for (int i = 0; i < num; i++) {for (int j = 1; j < coin; j++) {for (int k = type[i]; k < money; k++) {dp[k][j] += dp[k-type[i]][j-1];}}}
}int main() {fioint ans[money] = {0};int s;solve();for (int i = 0; i < money; i++) for (int j = 0; j < coin; j++)ans[i] += dp[i][j];while (cin >> s) {cout << ans[s] << endl;}
}