【车间调度】变邻域遗传算法求解柔性作业车间调度问题

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混合优化算法优化策略

变邻域搜索算法是一种快速和有效的求解复杂组合优化问题的局部搜索算法，通过邻域结构的系统化变换避免陷入局部最优。但是，传统的遗传算法的局部搜索能力较差，而变邻域搜索对初始解和邻域结构的质量有较强的依赖性。
混合优化算法GAVNS（genetic algorithm variable neighborhood search），在改进遗传算法的基础上，与局部搜索能力强的变邻域搜索进行有机组合。

初始解产生

初始解的产生有多种方式，可以采用随机方式和改进的优先分配规则等方式。由于在FJSP中存在某一道工序可以被多台机器进行加工，为了尽量保持各机器之间的负荷平衡，本章采用GLR方法产生初始解。在进行染色体个体解码时，仍采用之前的工序插入式解码方法，将染色体解码成活动调度

记忆库保优策略

传统遗传算法中进行交叉操作的个体都是从种群中选取的，这只是个体从种群中获取更新信息的一种方式。在这种信息交换机制中，个体过于“贪婪”地获取更新信息，算法容易早熟。针对这种信息共享机制的局限性，同时为了更好保护进化过程中出现的优良个体，本章利用记忆库来保留搜索过程中好的解。Tamaki提到柔性作业车间调度问题解的搜索空间到可行解目标函数值的映射并不是一对一的，而是多对一的关系如下图。为此在外部记忆库更新过程中引入海明距离的概念，以保留最优值（目标函数值）相等，但最优解（调度方案）不同的个体.

为此，当新的优良个体准备插入到外部记忆库时，更新过程可以描述为，将每一个优良个体与记忆库中的每一个个体目标函数值进行比较，如果优于记忆库中的个体，则替换；如果与记忆库中最好的目标函数值相同再比较机器选择部分的海明距离，若为零，则不替换；若不为零，替换记忆库中的最差个体。如此反复，直到所有优良个体比较完毕为止。

遗传操作

１．选择操作

选择操作是根据个体适应度值的优劣程度决定其是否作为交叉操作的个体，以保证优良个体信息能够继续保留的方法。采用锦标赛选择方法，设ｋ＝２，随机选择两个个体，比较两个个体的适应度值，选择较优个体作为交叉对象。采用轮盘赌选择时，需要将目标函数值映射成适应度值，在映射过程中，存在参数影响。而锦标赛选择则避免了这一问题。

２．交叉操作

交叉操作影响着遗传算法的全局搜索能力，它是将两个个体的部分结构加以重组进而产生新个体的操作。采用之前文中分别对机器选择部分和工序排序部分进行交叉的方式。以往单一的个体选择方法使得适应度大的个体被选择的机会大大增加，此类个体很快就会占领全部种群，从而导致超级个体问题，种群的多样性减少，导致算法“早熟”收敛。

３．变异操作

变异操作影响着遗传算法的局部搜索能力，影响种群的多样性。在操作过程中只能对个体进行较小的扰动，以防止优良信息及优良信息片段被破坏。本章针对FJSP染色体编码方式的特点，对机器选择部分采用３．２．５节中的变异方式；对于工序排序部分，不采用基于邻域的变异方式而是采用交换变异方式，即在染色体中随机选择两个不相同的位置，将其进行交换。采取这些操作主要为了提高混合算法的效率，同时避免和变邻域搜索算法的重复。

邻域结构研究

变邻域搜索算法主要利用多个邻域结构的系统化变换的思想，提高算法局部搜索能力，并避免陷入局部最优。邻域结构的设计是否合理对变邻域搜索算法的寻优性能将产生直接影响。在作业车间调度问题中，关键路径直接影响一个调度方案的最大完工时间，一般邻域的移动都是通过对关键路径上的工序进行小的扰动产生的，只有如此，才有可能缩短当前解的最大完工时间。对于经典JSP的邻域结构研究较多，并且大都是基于关键路径进行设计的，由最初的以关键工序为单位到后来的以关键块为单位。如Laarhoven等、Dell’Amico和Trubian、Nowicki和Smutnicki、Balas和Vazacopoulos曾分别提出了不同的邻域结构，但是对于FJSP需要考虑机器选择问题，在设计邻域结构时也必须考虑到机器选择问题。为此本章结合变邻域搜索算法特点，针对FJSP主要采用两种邻域结构，即移动一道工序邻域结构和移动两道工序邻域结构.

１．移动一道工序邻域

结构在移动一道工序邻域结构中，通过对关键路径上的一道工序在机器链表中位置进行移动或插入操作来得到新解。对一道工序从在可选加工机器集中确定加工机器，以及选定机器之后如何插入到可行节点位置这两个方面同时考虑。假设：用Ｏ表示所有工序的集合，即O={Ojh∣j=1,2...n;1≤n≤hj}O=\{O_{jh}|j=1,2...n;1≤n≤h_j\}O={Ojh∣j=1,2...n;1≤n≤hj}，其中第ｊ个工件包含hjh_jhj个工序；Ｇ表示当前调度解的有向图，Ｇ－表示将节点工序ｖ（ｖ∈Ｏ）移除后的有向图，Ｇ′表示将工序ｖ插入到Ｇ－之后的有向图；工序ｖ的可选加工机器集为Ωｖ。那么工序ｖ在关键路径上的移动和插入操作如下。

步骤１删除节点ｖ与同一台机器上其他节点的弧连接，设置节点ｖ的权值为零。
步骤２从ｖ的可选加工机器集中选择一台机器ｉ（ｉ∈Ωｖ），将ｖ分配给机器ｉ，并且选择合适的插入位置，设置节点ｖ的权值即在机器ｉ上的加工时间为pivp_{iv}piv。
假设sxs_xsx和cxc_xcx分别表示在图Ｇ−Ｇ^-Ｇ−中工序ｘ（ｘ∈Ｏ）的开始加工时间和完工时间。则在图Ｇ−Ｇ^-Ｇ−中，对于任意工序ｘ，都有

并且对于节点ｖ处的开始时间和完工时间分别为

如果节点ｖ是第１道（最后一道）工序，那么PJ(ｖ)＝０(ＳＪ(ｖ)＝＊)，并且节点工序ｖ移除之后并不能影响前序工序的开始时间和后续工序的结束时间，即

所有的ｖ插入位置中必然包括一个使总完工时间最小的插入，通过上面的操作可以得到工序ｖ的所有邻域解集为

式中：FivF_{iv}Fiv表示在机器ｉ上的所有可行邻域解集。但是节点插入位置必须满足一定条件才可以是可行解，假设QiQ_iQi是图Ｇ－Ｇ^－Ｇ－中在机器ｉ上加工的工序集，其中ｖ∉ＱiＱ_iＱi，设ＱiＱ_iＱi中的两个子节点集RiR_iRi和LiL_iLi定义为

则将工序ｖ插入到LiL_iLi（或RiR_iRi）所有工序之后，并且在RiR_iRi（或LiL_iLi）所有工序之前的邻域解集合为FivF_{iv}Fiv。

（１）RiR_iRi的特点通过上面对RiR_iRi的定义可知：在图Ｇ－中，从任意工序ｘ（其中ｘ∈RiR_iRi）到工序ｖ都不存在路径。如果ｘ是属于QiQ_iQi或RiR_iRi的一个工序，那么Sx+px≤svS_x+p_x≤s_vSx+px≤sv。因此，sv≥sv−,pv＞0s_v≥s_v^-,p_v＞0sv≥sv−,pv＞0，则sx＜sv+pvs_x＜s_v+p_vsx＜sv+pv。但是在图Ｇ中（包括在图Ｇ－中）从ｖ到QiQ_iQi或RiR_iRi任何工序的路径是不存在的。
（２）LiL_iLi的特点同样，通过上面对Ｌｉ的定义可知：在图Ｇ－Ｇ^－Ｇ－中，从工序ｖ到任意工序ｘ（其中ｘ∈Ｌｉ）的路径是不存在的。如果ｘ是属于QiQ_iQi或LiL_iLi中的一个工序，那么px+cx≤cv−p_x+c_x≤c_v^-px+cx≤cv−。因此，既然cv≥cv−c_v≥c_v^-cv≥cv−和pv＞0p_v＞0pv＞0，则cx＜pv+cvc_x＜p_v+c_vcx＜pv+cv。但是在图Ｇ中（包括在图Ｇ－Ｇ^－Ｇ－中）从QiQ_iQi或Ｒｉ任何工序到ｖ的路径是不存在的。
换言之，当工序ｖ换到机器ｉ上时，如果在图Ｇ－Ｇ^－Ｇ－中从ｘ到ｖ的路径存在，只有当工序ｘ必须在工序ｖ之前调度时才会产生可行解；反之，如果从工序ｖ到工序ｘ的路径存在，只有当工序ｘ必须在工序ｖ之后调度时才会产生可行解；如果在工序ｘ和工序ｖ之间不存在路径，无论工序ｘ放到工序ｖ前或后都会产生可行解。Mastrolilli已经证明：节点ｖ的最优插入位置在所有节点LiL_iLi∩RiR_iRi之后和在所有节点RiR_iRi∩LiL_iLi之前