一、离散随机变量及连续随机变量

随机变量

1. 离散随机变量(Discrete random variable)：取值是可数个值(且只能为自然数0、1、2...)的随机变量

2. 连续随机变量(Continuous random variable)：取值是一个区间中任一实数(即变量的取值可以是连续的)的随机变量

相应概率计算公式PMF/PDF/CDF

1. 离散随机变量：概率质量函数(Probability Mass Function,PMF)

PMF即离散随机变量在各特定取值上的概率

2. 连续随机变量：概率密度函数(Probability Density Function,PDF)

PDF：连续随机变量的概率密度函数是描述这个随机变量的输出值，在某个特定取值点附近可能性的函数。

3. 累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)

CDF：概率密度函数的积分，能完整描述一个随机变量X的概率分布。概率中的PDF，PMF，CDF - wanzer之家 - CSDN博客​blog.csdn.net

二、离散概率分布及连续概率分布

离散概率分布伯努利分布(Bernoulli Distribution)：亦称“0-1分布”

二项分布(Binomial Distribution)：即重复n次独立的伯努利实验，每次试验中只有两种可能的结果。

几何分布(Geometric Distribution)：在n次伯努利试验中，试验k次才得到一次成功的概率(即前k-1次均失败)

泊松分布(Poisson Distribution)：一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。

泊松分布一般需满足三个条件：事件的发生是小概率事件/事件间相互独立/事件发生的概率是稳定的

连续概率分布

正态分布(Normal Distribution)：是所有分布趋于极限大样本的分布，属于连续分布。

各种分布类型间关系二项分布的极限分布是泊松分布。

泊松分布的极限分布是正态分布，即np=λ，当n很大时可近似相等。

二项分布和泊松分布都可以用正态分布代替(需满足一定条件，中心极限定理or大数定律)。中心极限定理以及其和大数定律的区别 - 每天进步一点点 - CSDN博客​blog.csdn.nethttp://www.math.wm.edu/~leemis/2008amstat.pdf​www.math.wm.edu

以下为各单变量分布间关系：

各概率分布的Python实现：

#导入包

import numpy as np #数组包

from scipy import stats #统计计算包的统计模块

import matplotlib.pyplot as plt #绘图包

%matplotlib inline

1.伯努利分布(Bernoulli Distribution)

#1、定义随机变量：抛一次硬币，0代表失败即反面朝上；1代表成功即正面朝上

#(随机变量通常用大写字母表示)

X=np.arange(0,2,1)

X

>>>

array([0, 1])

#2、求对应分布的概率：概率质量函数(PMF：Probabilily mass function)

p=0.5 #硬币朝上的概率

pList=stats.bernoulli.pmf(X,p)

pList

>>>

array([0.5, 0.5])

#3、绘图

plt.plot(X,pList,linestyle='None',marker='o') #不需要将两点相连

plt.vlines(X,0,pList) #绘制竖线，参数说明plt.vlines(x坐标值,y坐标最小值,y坐标最大值)

plt.xlabel('随机变量：抛1次硬币结果为反面记为0，为正面记为1')

plt.ylabel('概率值')

plt.title('伯努利分布：p=%0.2f'%p)

2.二项分布(Binomial Distribution)

#1、定义随机变量：抛5次硬币，正面朝上的次数

n=5 #做某件事的次数

p=0.5 #做成功某件事的概率

X=np.arange(0,n+1,1)

X

>>>

array([0, 1, 2, 3, 4, 5])

#2、求对应分布的概率

pList=stats.binom.pmf(X,n,p) #参数含义为：pmf(k次成功,共n次实验,单次实验成功概率为p)

pList

>>>

array([0.03125, 0.15625, 0.3125 , 0.3125 , 0.15625, 0.03125])

#3、绘图

plt.plot(X,pList,linestyle='None',marker='o')

plt.vlines(X,0,pList)

plt.xlabel('随机变量：抛5次硬币，正面朝上的次数')

plt.ylabel('概率值')

plt.title('二项分布：n=%i,p=%0.2f'%(n,p))

3.几何分布(Geometric Distribution)

#1、定义随机变量：首次表白成功所需次数k

k=5 #做某件事的次数

p=0.6 #做成功某件事的概率

X=np.arange(1,k+1,1)

X

>>>

array([1, 2, 3, 4, 5])

#2、求对应分布的概率

pList=stats.geom.pmf(X,p) #参数含义为：pmf(第X次成功,单次实验成功概率为p)

pList

>>>

array([0.6 , 0.24 , 0.096 , 0.0384 , 0.01536])

#3、绘图

plt.plot(X,pList,linestyle='None',marker='o')

plt.vlines(X,0,pList)

plt.xlabel('随机变量：表白k次才首次成功')

plt.ylabel('概率值')

plt.title('几何分布：p=%0.2f'%p)

4.泊松分布(Poisson Distribution)

#1、定义随机变量：已知某路口平均每天发生事故两次，则该路口一天内发生k起事故的概率是多少？

mu=2 #平均值：每天平均发生2起事故

k=4 #该路口发生4起事故的概率

X=np.arange(0,k+1,1)

X

>>>

array([0, 1, 2, 3, 4])

#2、求对应分布的概率

pList=stats.poisson.pmf(X,mu) #参数含义为：pmf(发生X次事件,平均发生mu次)

pList

>>>

array([0.13533528, 0.27067057, 0.27067057, 0.18044704, 0.09022352])

#3、绘图

plt.plot(X,pList,linestyle='None',marker='o')

plt.vlines(X,0,pList)

plt.xlabel('随机变量：该路口发生事故的次数')

plt.ylabel('概率值')

plt.title('泊松分布：平均值mu=%i'%mu)

5.正态分布(Normal Distribution)

#1、定义随机变量

mu=0 #平均值

sigma=1 #标准差

X=np.arange(-5,5,0.1)

#2、求对应分布的概率

pList=stats.norm.pdf(X,mu,sigma) #参数含义为：pdf(发生X次事件,均值为mu,方差为sigma)

#3、绘图

plt.plot(X,pList,linestyle='-')

plt.xlabel('随机变量：x')

plt.ylabel('概率值：y')

plt.title('正态分布：$\mu$=%0.1f，$\sigma^2$=%0.1f'%(mu,sigma))

5.4、已知正态分布查找对应概率值

分三步：确定分布范围、求标准分z值、查找z表格

1. 确定分布范围(以左尾为例)如：p(k<1.05)

2. 求标准分 标准分z=(1.05-平均值)/标准差

3. 查找z表格

其他：右尾及双尾

三、正态分布与幂律分布正态分布(Normal distribution)

正态曲线呈钟型，是两边低，中间高，左右对称曲线。一般而言，如果某个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，则可以认为该量符合正态分布。正态分布说明了事物运行有惯性的规律，能避免向另外的极端发展，从而体现出一种一定态势下的惯性波动。关于正态分布，你不知道它诞生之路是多么“变态”​www.sohu.com幂律分布(Power law distribution)

幂律分布表现为斜率为负的幂指数的直线，概率越高，占比越小，生活中的马太效应及长尾分布都是幂律分布的典型案例。简单来说，幂律分布就是告诉你世界是不公平的，较少的人拥有大部分财富(二八法则)，于是在他们身上就体现了财富的加速积累情况。幂律分布 - Together_CZ的博客 - CSDN博客​blog.csdn.net