引言

今天来给大家介绍一下Polar vector和axial vector，即极矢量和轴向矢量。

Polar vector

中文翻译

极矢量

定义

第一种

在基础数学中，polar vector被用来表示一个极矢量，该矢量有大小和方向，等同于在极坐标中指定它的端点。

如下图所示：

第二种

在物理上，polar vector是一种类似于radius vector的矢量，事实上，polar vector包含radius vector。当坐标系反转的时候，矢量r⃗\vec{r}r也会反转符号。polar vector就是我们常常说到的矢量。

polar vector在坐标轴反演时，它会被转化它的negative形式(相反形式，在原有矢量基础上添加一个负号)。

第三种

polar vector描述的是一个有着起始点的平移运动。

性质

通过定义不难看出，polar vector就是我们中文中通常说到的矢量，它是具有平移不变性的，即当仅涉及到线性作用时，矢量本身与参考系的选择无关。且该类矢量在镜像反射时具有不变性。如下图所示：

可以看到，在镜像反射后，矢量yyy还等于矢量xxx与矢量zzz的和。

举例

常见的极矢量包括r⃗\vec{r}r，速度矢量v⃗\vec{v}v，动量矢量p⃗\vec{p}p和力矢量F⃗\vec{F}F。

Axial vector

中文翻译

轴向矢量，事实上它还有一个英文叫法是pseudovectors，中文翻译为伪矢量。

定义

Axial vector描述的是旋转运动，并沿着旋转轴作用。我们通常使用右手螺旋定则来判断。

性质

相比于polar vector，伪矢量在坐标轴反转的时候，它本身的符号不会变成相反的符号，即维持原来的符号。详情见下图：

可以看到，当矢量xxx和矢量yyy进行反转时，矢量zzz的方向不变化。

举例

角速度矢量ω\omegaω，角动量矢量L⃗\vec{L}L，扭矩τ⃗\vec{\tau}τ，辅助磁场H⃗\vec{H}H和磁单极子动量m⃗\vec{m}m都是伪矢量。

讨论

任意两个极矢量的叉乘是一个伪矢量。即：
A⃗×B⃗\begin{equation} \vec{A} \times \vec{B} \nonumber \end{equation} A×B
任意三个极矢量的叉乘是一个极矢量，即：
A⃗×(B⃗×C⃗)\begin{equation} \vec{A} \times \left(\vec{B} \times \vec{C}\right) \nonumber \end{equation} A×(B×C)
进一步我们可以推出以下性质：
[pseudovectors]×[pseudovectors]=[pseudovectors][vector]×[pseudovectors]=[vector]\begin{aligned} \left [ \text{pseudovectors} \right ] \times \left [ \text{pseudovectors} \right ] &= \left [ \text{pseudovectors} \right ] \nonumber \\ \left [ \text{vector} \right ] \times \left [ \text{pseudovectors} \right ] &= \left [ \text{vector} \right ] \nonumber \end{aligned} [pseudovectors]×[pseudovectors][vector]×[pseudovectors]=[pseudovectors]=[vector]

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Polar vector and axial vector(极矢量和轴向矢量)

Polar vector and axial vector

引言

Polar vector

中文翻译

定义

第一种

第二种

第三种

性质

举例

Axial vector

中文翻译

定义

性质

举例

讨论

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