文章目录

1、预备知识
2、腐蚀和膨胀
3、开操作和闭操作
4、一些基本的形态学算法

1、预备知识

数学形态学的语言是集合论。

在形态学中集合的反射和平移广泛用来表达基于结构元（SE）的操作：研究一幅图像中感兴趣特性所用的小集合或子图像。

在二值图像中，除了元素是SE的成员的定义之外，还必须指定结构元的原点。

在形态学处理语言中，二值图像A和结构元素B都是定义在二维笛卡尔网格上的集合。当一个结构元素的原点位移到点(x,y)处时，将其记为BxyB_{x y}Bxy

注意：当使用“结构元包含在集合中”这样的术语时，需明确指出A和B的元素完全重叠。不被包含的集合的边界会被腐蚀。

腐蚀和膨胀是形态学处理的基础，本章中讨论的许多形态学算法都是以这两种原始操作为基础的。

2、腐蚀和膨胀

1、腐蚀

B对A的腐蚀定义为
A⊖B={z∣(B)z⊆A}A \ominus B=\left\{z \mid(B)_{z} \subseteq A\right\} A⊖B={z∣(B)z⊆A}
B对A的腐蚀是用一个z平移的B包含在A中的所有点z的集合，即如果B的原点位移到(x,y)，那么B将完全包含在A中。

腐蚀缩小或细化了二值图像中的物体，可以将腐蚀看成是形态学滤波操作，这种操作将小于结构元的图像细节从图像中滤除了。腐蚀执行线滤波功能。

腐蚀对从一幅图像中去除小且无意义的物体来说是很有用的。

2、膨胀

B对A的膨胀定义为
A⊕B={z∣(B^)z∩A≠∅}A \oplus B=\left\{z \mid(\hat{B})_{z} \cap A \neq \varnothing\right\} A⊕B={z∣(B^)z∩A=∅}
B对A的膨胀是所有位移z的集合，B^\hat{B}B^和A至少有一个元素是重叠的。如果B的原点位移到(x,y)，那么它与A的交集非空。

膨胀以集合操作为基础，是一种非线性操作。

膨胀在填补分割后物体中的空洞很有用。

3、对偶性

腐蚀和膨胀彼此关于集合求补运算和反射运算是对偶的。
(A⊖B)c=Ac⊕B^(A⊕B)c=Ac⊖B^\begin{array}{l} (A \ominus B)^{c}=A^{c} \oplus \hat{B} \\ (A \oplus B)^{c}=A^{c} \ominus \hat{B} \end{array} (A⊖B)c=Ac⊕B^(A⊕B)c=Ac⊖B^
腐蚀和膨胀效果图如下：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread('C:/Users/13121/Desktop/c.png', 0) # 读取灰度图
# 得到一个3x3的十字交叉结构元，实际就是numpy矩阵
kernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_CROSS,(3,3)) #卷积核
erode_res = cv2.erode(img, kernel)  # 腐蚀结果
dilate_res = cv2.dilate(img, kernel)  # 膨胀结果plt.subplot(1,3,1)
plt.imshow(erode_res, cmap=plt.cm.gray)
plt.title("erode")
plt.axis('off')
plt.subplot(1,3,2)
plt.imshow(img, cmap=plt.cm.gray)
plt.title("img")
plt.axis('off')
plt.subplot(1,3,3)
plt.imshow(dilate_res, cmap=plt.cm.gray)
plt.title("dilate")
plt.axis('off')
plt.show()

3、开操作和闭操作

膨胀会扩大一幅图像的组成部分，腐蚀会缩小一幅图像的组成部分。接下来学习的是形态学的另一组操作，开操作和闭操作。

开操作会平滑物体的轮廓、断开较窄的狭颈并消除细的突出物；

A∘B=(A⊖B)⊕BA \circ B=(A \ominus B) \oplus B A∘B=(A⊖B)⊕B

B对A的开操作即B对A腐蚀，再用B对结果膨胀。

闭操作会平滑轮廓的一部分，但会弥合较窄的间断和细长的沟壑，消除小的空洞，填补轮廓线中的断裂。

A⋅B=(A⊕B)⊖BA \cdot B=(A \oplus B) \ominus B A⋅B=(A⊕B)⊖B

B对A的闭操作即B对A膨胀，再用B对结果腐蚀。

开操作和闭操作效果图如下：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img1 = cv2.imread('C:/Users/13121/Desktop/h.png', 0) # 读取灰度图
img2 = cv2.imread('C:/Users/13121/Desktop/g.png', 0) # 读取灰度图
# 得到一个5x5的矩形结构元
kernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_RECT,(5,5))
iterations = 50  #迭代次数
open_res = cv2.morphologyEx(img1, cv2.MORPH_OPEN, kernel, iterations)
close_res = cv2.morphologyEx(img2, cv2.MORPH_CLOSE, kernel, iterations)plt.subplot(2,2,1)
plt.imshow(img, cmap=plt.cm.gray)
plt.title("img1")
plt.axis('off')plt.subplot(2,2,2)
plt.imshow(open_res, cmap=plt.cm.gray)
plt.title("open")
plt.axis('off')plt.subplot(2,2,3)
plt.imshow(img2, cmap=plt.cm.gray)
plt.title("img2")
plt.axis('off')plt.subplot(2,2,4)
plt.imshow(close_res, cmap=plt.cm.gray)
plt.title("close")
plt.axis('off')
plt.show()

4、一些基本的形态学算法

在处理二值图像时，形态学的主要应用之一是提取用于表示和描述形状的图像成分。本节中我们用1表示阴影区域0表示白色。

1、边界提取

即用一个结构元素对原图像进行腐蚀，腐蚀保留的都是物体的内部点，再用原图像减去腐蚀后的图像，留下的就是边界像素。
β(A)=A−(A⊖B)\beta(A)=A-(A \ominus B) β(A)=A−(A⊖B)

import cv2
import numpy as np
# import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import pyplot as pltI = cv2.imread('C:/Users/13121/Desktop/c.png',0)
ret,img = cv2.threshold(I,127,255,cv2.THRESH_BINARY_INV)
kernel = np.ones((3,3),np.uint8)
r=cv2.erode(img,kernel,iterations=1)#边缘提取
e=img-rplt.subplot(121)
plt.imshow(img)
plt.title("original")
plt.axis('off')plt.subplot(122)
plt.imshow(e)
plt.title("after")
plt.axis('off')plt.show()

2、孔洞填充
Xk=(Xk−1⊕B)∩Ack=1,2,3,⋯X_{k}=\left(X_{k-1} \oplus B\right) \cap A^{c} \quad k=1,2,3, \cdots Xk=(Xk−1⊕B)∩Ack=1,2,3,⋯

对A图进行孔洞填充，先求出A集的补集，构建X₀一幅全黑图像加上孔洞中的一点白作为初始图象，用B对X₀进行膨胀，结果膨胀的结果超过了孔洞的大小，于是用之前构造的A^c对其求交集，将其结果限制在孔洞内，然后迭代，直到x_{k-1}与x_k相同没变化，最后得到X₈孔洞的填充图像，最后与原图像求并集，就刚好把空洞填补了。

孔洞填充效果图如下：

参考代码

3、连通分量的提取

给原图像中的每个连通区分配给一个唯一代表该区域的编号，在输出图像中该连通区内的所有像素的像素值为该区域的编号，我们将这样的输出图像称为标注图像。

4、凸壳

如果连接物体A内的任意两点的直线段都在A的内部，则称A是凸的。

图像二值化后，如果光照不均，物体本身的形状可能会发生缺损，用凸壳进行处理可弥补凹损，算法会找到包含原始形状的最小凸多边形。

5、细化

细化分为两步过程，第一步是正常的腐蚀，但那些被标为可除去的像素点不立即消去，第二步将那些消除后并不破坏连通性的点消除，否则保留。

细化将一个曲线形物体细化为一条单像素宽的线，从而图形化地显示出其拓扑性质。

6、粗化

膨胀也可以在不合并邻近的物体的条件下实现。

可提取图像的补并用细化运算处理背景。实际上当每种腐蚀的变形作用于一幅图像的补时，就会获得一种相应的膨胀型运算。

粗化可在不合并彼此分离的物体的前提下扩大边界。

7、骨架

A的骨架可用腐蚀和开操作来表达。
S(A)=⋃k=0KSk(A)S(A)=\bigcup_{k=0}^{K} S_{k}(A) S(A)=k=0⋃KSk(A)

Sk(A)=(A⊖kB)−(A⊖kB)∘BS_{k}(A)=(A \ominus k B)-(A \ominus k B) \circ B Sk(A)=(A⊖kB)−(A⊖kB)∘B

一个与细化有关的运算是骨架，骨架是所有与物体在两个或更多非邻接边界点处相切的圆心的轨迹，但骨架很少通过在物体内拟合圆来实现。

骨架的实现与细化相似，可采用一个两步有条件腐蚀实现，但是删除像素的规则略有不同。

8、裁剪

通常细化和骨架过程会在所生成的图中留下毛刺，这些毛刺是一些小的分支，每个分支在距分叉处3个像素左右处有一个端点。毛刺是由边界上单像素尺寸的起伏造成的，这些起伏产生了小的分支。可以通过一些列的消除端点的3×3运算除去，然后再重建那些留下的分支。

小结
本章的知识比较连贯，学起来比较有意思…，腐蚀、膨胀、开操作、闭操作在之后的图像分割方面比较有用。

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