赫尔德不等式证明闵可夫斯基不等式

2024-04-23 13:11:20

$\because (a+b)^{p} =(a+b) ^{p-1}a + (a+b)^{p-1}b$

$\therefore \sum_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})^{p}=\sum_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})^{p-1}a_{i}+\sum_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})^{p-1}b_{i}$

又 $\because \frac{p-1}{p}+\frac{1}{p} = 1(p>1)$

由赫尔德不等式可得：

$\sum_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})^{p-1}a_{i}+\sum_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})^{p-1}b_{i}$

$\leq [\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{p}]^{\frac{p-1}{p}}[\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p}]^{\frac{1}{p}}+[\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{p}]^{\frac{p-1}{p}}[\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{p}]^{\frac{1}{p}}$

两边同时乘以 $[\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{p}]^{-\frac{p-1}{p}}$ 得到闵可夫斯基不等式：

$[\sum_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})^{p}]^{\frac{1}{p}}\leq[\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p}]^{\frac{1}{p}}+[\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{p}]^{\frac{1}{p}}(p\geq 1,a_{i}> 0,b_{i}> 0)$

等号成立条件： $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 或 $p=1$

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