回旋共振有效质量的测量

之前介绍的是E~K关系的一般特征，实际上对于不同材料，性质是不同的

我们通过回旋共振的实验，来测出电子空穴的有效质量，有效质量涵盖了内部势场的作用，因此可以反推能带结构是怎样的？

能带结构还有EK关系还有有效质量，有联系也有区别

三位情况下， $E(K)-E_{c}=\frac{h^2}{2m_n^*}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)$ ,第一个问题K空间等能面，如果这样的EK关系中令E（K）为常数，在三维坐标中，就构成了封闭的球面，球面上的各点，能量就会小一点，我们把这样封闭的球面称为等能面，如果等能面是球面，是从上述表达式来的，在这样的表达式里面，可以获得这样的等能面，具有球形等能面的EK关系，其电子的有校质量是各项同性（假设在布里渊取的中心取得导带的极小值），实际晶体中导带极小值，不一定在K=0处，且有效质量可以各向异性的，也就是在 $\frac{1}{m_n^*}=\frac{1}{h^2}\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}$ ，E~K关系沿着不同的K方向不同，既然实际的晶体，我们设导带极小值位于k0处，我们适当选取三个轴，我们令 $m_x^*,m_y^*,m_z^*$ 为沿着三个轴的有效质量，我们称他们为有效质量，将EK关系在K0附近用泰勒级数展开，还要忽略高次项，这样我们就可以得到这样的情况下的EK关系，这样我们就得到了 $E(K)-E_c=\frac{h^2(k_x-k_{0x})^2}{2m_x^*}+\frac{h^2(k_y-k_{0y})^2}{2m_y^*}+\frac{h^2(k_z-k_{0z})^2}{2m_z^*}$ ，其中 $\frac{1}{m_x^*}=(\frac{1}{h^2}\frac{\partial^2 E}{\partial x^2})_{k0},\frac{1}{m_y^*}=(\frac{1}{h^2}\frac{\partial^2 E}{\partial y^2})_{k0},\frac{1}{m_z^*}=(\frac{1}{h^2}\frac{\partial^2 E}{\partial z^2})_{k0}$ ,这个式子看起来比各项同性的有效质量比较麻烦，我们变一下形，这样子就出现了 $\frac{(k_{x}-k_{0x})^2}{\frac{2m_x^*}{h^2}(E-E_{c})}+\frac{(k_{y}-k_{0y})^2}{\frac{2m_y^*}{h^2}(E-E_{c})}+\frac{(k_{z}-k_{0z})^2}{\frac{2m_z^*}{h^2}(E-E_{c})}=1$ ,我们令 $\frac{2m_x^*}{h^2}(E-E_{c})=a^2,\frac{2m_y^*}{h^2}(E-E_{c})=b^2,\frac{2m_z^*}{h^2}(E-E_{c})=c^2$ 这样就变成了标准的椭球方程，其中a,b,c是椭球的三个半长轴，构成了椭球等能面，如果你的a,b,c有两个是相等的，这时候它的等能面就变成了旋转椭球等能面，旋转去椭球就是平面上的椭圆，绕着其中的轴，绕着长轴转的话，就变成像橄榄一样的，实际的晶体Si和Ge不是各向同行的，它是由旋转椭球面构成的，有两个方向一样

具有旋转椭球面的EK关系，其电子的等效质量是各向异性的

回旋共振是一个实验的名称

设将一个半导体的样品置于均匀恒定的磁场当中，既然你做实验的话，那磁感应强度 $B$ 就是知道的

半导体当中电子的初速度 $\vec v$ ,假定电子的初速度和磁感应强度的夹角为 $\theta$ ,电子的初速度和磁感应强度构成一个平面，旋转一下，和黑板面垂直，我们在做一个和黑版面垂直的面，这样一来会容易分析一点，

电子收到洛伦兹力大小的做哟个，作用力 $|f|=qvbsin(\theta)$ , $f$ 的方向遵守右手定则， $\vec f=-q \vec v * \vec B$ ,所以力的大小方向垂直向下，电子的初速度可以分解，分解到与 $\vec B$ 平行和垂直的方向 $\vec v_{1} , \vec v_{2}$

$\vec v_{1}=\vec vcos(\theta),\vec v_2=\vec vsin(\theta)$ ,这样的话我们电子的受力情况和电子的速度情况讨论清楚了，我们再来看一看电子的运动轨迹，先看水平方向

在与磁感应强度 $\vec B$ 平行的方向，电子以 $\vec v_{1}=\vec vcos(\theta)$ 的速度作匀速运动（不受力）

在与 $\vec B$ 垂直的方向以 $\vec v_{2}=\vec vsin(\theta)$ 为线速度做圆周运动，所以这两个复合起来，应该是周期性螺旋形运动

既然做的是回旋运动，设回旋频率 $\omega_{c}$ ,回旋半径 $r$ ,那么这个 $\vec v_{2}=\omega_{c}r$ ,既然轨迹是螺旋线，那一定有向心加速度，向心加速度 $a=\frac{\vec v_{2}}{r}=\frac{qvBsin(\theta)}{m_n^*}=\frac{qv_{2}B}{m_n^*}$ ,所以 $\omega_c = \frac{qB}{m_n^*}$ ,这就是回旋共振实验

给样品增加一个交变的电磁场，横坐标是频率，纵坐标是输出信号的强度，当你外加的频率和回旋的频率一致的时候，就会出现共振吸收， $\omega_c,q,B$ 有了，有效质量就有了，需要频率非常大，输出信号恒定（很难达到）

如果没有这样的信号源怎么办？

如果我们把频率固定，改变磁感应强度（B是可以大范围变化的），所以实验在做的时候，改变磁场，来做实验，这就是我们回旋共振的原理，我们说晶体当中的电子的有效质量有两种情况

1.各向同性

2.具有椭球的能量或者旋转椭球的能量

请问 $\omega_c =\frac{qB}{m_n^*}$ 是适用于哪种？还是两个都不适合？

公式的来源，用到的是公示的推导， $a=\frac {f}{m_n^*}$ ,已经默认了各向同性，大家要熟悉晶体中的电子可能具有各向异性，也就是有效质量不止一种，吸收峰不止一个，所以对各向同性成立的

如果是各向异性的情况，再讨论一下

若 $m_n^*$ 各向异性，沿着 $k_x,k_y,k_z$ 坐标轴的有效质量，分别为 $m_x^*,m_y^*,m_z^*$ ,另外做回旋共振实验中磁感应强度 $\vec B$ 在 $k_x,k_y,k_z$ ，坐标轴上的方向余弦分别为 $\alpha,\beta,\gamma$ ,画一个图把这几句话的意思示意一下

也就是说 $\alpha = cos(\theta_1),\beta =cos(\theta_{2}),\gamma =cos(\theta_3)$ ,在磁场当中的半导体样品，电子的受力，由于有初速度，显然是要受力的， $\vec f=\vec f_x\vec i+\vec f_y\vec j+\vec f_z\vec k=-q \vec v \times \vec B=-q(\vec v_x \vec i +\vec v_y \vec i +\vec v_z \vec i ) \times (\vec B \alpha \vec i+\vec B \beta \vec j+\vec B \gamma \vec k)$

展开，对应分量相等，就可以把 $\vec f_x,\vec f_y,\vec f_z$ 写出来

$\vec f_x =-q\vec B(\vec v_y \gamma - \vec v_z\beta) , \vec f_y =-q\vec B(\vec v_z \alpha - \vec v_x\gamma) ,\vec f_z =-q\vec B(\vec v_x \beta - \vec v_y\alpha)$

所以可以把力和加速度联系起来

$m_x^*\frac{d\vec v_x}{dt}+q\vec B(\vec v_y \gamma - \vec v_z\beta) =0, m_y^*\frac{d\vec v_y}{dt}+q\vec B(\vec v_z \alpha - \vec v_x\gamma)=0,m_z^*\frac{d\vec v_z}{dt}+q\vec B(\vec v_x \beta - \vec v_y\alpha)=0$

这样子我们就得到了电子的运动方程，接下来想办法求解

因为电子做的是周期性的回旋运动，所以我们取周期性的试解 $\vec v_x=v_x^`e^{iw_ct},\vec v_y=v_y^`e^{iw_ct},\vec v_z=v_z^`e^{iw_ct}$ ,然后我们把这个，代回原来的

那么为了让方程组有非零解，所以系数行列式为0

$\left|\begin{array}{cccc} i\omega_c & \frac{q\vec B}{m_x^*}\gamma & -\frac{q\vec B}{m_x^*}\beta\\ -\frac{q\vec B}{m_y^*}\gamma & i\omega_c & \frac{q\vec B}{m_y^*}\alpha\\ \frac{q\vec B}{m_z^*}\beta & -\frac{q\vec B}{m_z^*}\alpha & i\omega_c \end{array}\right| =0$

我们就可以解出来 $\omega_c$ 的表达式

$\omega_c=\frac{qB}{m_n^*}(\frac{1}{m_n^*}=\sqrt\frac{m_x^*\alpha^2+m_y^*\beta^2+m_z^*\gamma^2}{m_x^*m_y^*m_z^*})$

形式上是一样的，但是有效质量做了一步简化

做实验是相似的，外加交变电磁场，测吸收峰

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