实验案例 狼追击兔子的问题

1.1 狼追击兔子问题的建模

1.1.1 问题重述与分析

狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？

为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。

1.1.2 变量说明

1.1.3 模型假设

1、 狼在追击过程中始终朝向兔子；

2、 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P(x,y) 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为 。

1.1.4 模型建立

(一)建模准备

以t＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；

则显然有兔子位置的横坐标 。

对狼来说，当x＝100，y＝0，即

在t＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向，

则有

(二)建立模型

3、是否追上的判断

要判定狼是否追上兔子，可以通过(7)式判定。

对(7)式，

当x＝0，如果计算求解得到 ，则视为没有追上；

当x＝0，如果计算求解得到 ，则视为兔子被追上；

1.1.5 模型求解

由微分方程得到其Matlab函数

function yy=odefunlt(x,y) %以狼在追击过程中的横坐标为自变量

yy(1,1)=y(2);

yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x);

主程序：

tspan=100:-0.1:0.1; %以狼的x坐标为自变量

y0=[0 0];

%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离

[T,Y] = ode45(‘odefunlt’,tspan,y0);

n=size(Y,1);

disp(‘狼的坐标(x=0.1)’)

disp(Y(n,1)) %通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标

1.1.6 模型结果与分析

运行结果：

狼的坐标(x=0.1)

62.1932

通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。

1.1.7 思考题

通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？

(一)解决思路

可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。

模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：

function sim_langtu

%《狼兔追击问题》

%(离散模拟)

%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度

%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程

Q=[0 0];%兔子坐标

P=[100 0];%狼坐标

PQ=Q-P;%狼兔方向向量

step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确

count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分

PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量

trackP=P;

trackQ=Q;

for k=1:count;

P = P + 2*PQ;%2倍速度

Q = Q + step*[0 1];%[0 1]为兔子奔跑方向的单位方向向量

PQ = Q - P;

trackP(1+k,:)=P;

trackQ(1+k,:)=Q;

PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量

dis= sqrt(sum((P-Q).^2));

plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+');

pause(0.5)

end%for

dis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离

P %兔子到达窝边时，狼的坐标

Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标

(二)模拟程序运行结果

dis =

7.0619

P =

1.6805 53.1410

Q =

0 60

注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。

程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。