AcWing 143. 最大异或对 —— 神奇的二进制

题目描述

分析：

这里先回顾一下异或的操作。异或(Exclusive or, XOR)为当两两数值相同时为否，而数值不同时为真。在编程语言中，常写作 p ^ q。直观如下：

在本题当中可以对给出的 NNN 个整数进行暴力枚举同时记录两两最大的异或结果。很不幸暴力的做法会超时，下面给出暴力代码：

int res = 0
for (int i = 0; i < n; i ++) // 枚举第一个数
{for (int j = 0; j < i; j ++) // 枚举第二个数，可以避免重复枚举res = max(res, a[i] ^ a[j})
}

那我们要进行优化，具体为对内层循环进行优化。由于数据小于 2312^{31}231，因此可以将每个整数看成长度为 313131 位的二进制串。那能使 a[i]a[i]a[i] 与其异或值最大的整数一定是高位至低位有尽可能多的不同位(使异或结果可以尽可能多地获得1)。流程如下所示，假设 a[i]a[i]a[i] 为313131位的二进制数101110...1101110...1101110...1。在贪心准则下每次往能获得最大值的方向走，若其他整数不能使当前位获得最大值(假设 a[i]a[i]a[i] 当前位为0，而tire树中只有0可以走)，也只能先将就一下往这里走，等下一位再追求最好的。直至走完 a[i]a[i]a[i]。

注：对于 a[i]a[i]a[i] 来讲，它面临的 trie树，是由 a[0]...a[i−1]a[0] ... a[i-1]a[0]...a[i−1] 构建的。
以上就是利用trie树优化内层的循环的思想，并且每次 a[i]a[i]a[i] 只和 a[j](j<i)a[j](j < i)a[j](j<i) 的数进行运算即可，这是因为 p ^ q = q ^ p(^ 为异或运算)。
另外需要注意一个细节，对于每一个 a[i](0≤i≤N)a[i](0≤i≤N)a[i](0≤i≤N)是先进行对其进行最大异或值查询再插入进 trie树还是先插入再查询呢？这里我们采用先插入再查询的流程，因为对于第一个整数来讲，trie树为空，若此时进行异或运算可能会非法的结果；若先插入再查询，则第一个数一定是和自己做异或运算，由于异或运算的性质，可以得出结果一定为000。

别扭的位运算

由于本题都是对二进制数进行操作，因此我打算先提前把位运算说清楚，这样在看代码时会事半功倍。
左移运算(<<)：在C++中，若对整数进行左移操作，如 x << 1，即把每一位向前(左)推一位后在末尾补上000，相当于将这个数放大222倍。这是为什么呢？请看下图：

右移运算(>>)：在C++中，若对整数进行左移操作，如 x >> 1，即把每一位向后(右)推一位，并把推出去的数去掉，相当于将这个数缩小222倍。具体细节可将左移推导中的乘法转换为除法即可。同理也要搞清楚左移 kkk 位以及右移 kkk 位的含义。

有了左右移的概念之后，我们来看一下代码中经常出现的位运算操作之一：x >> k & 1。大家都将该操作称为“看看第 kkk 位(kkk 从000开始)”。该操作为将 xxx 的二进制表示右移 kkk 位后与0000...010000...010000...01按位求与运算。我想与运算大家肯定明白，那为什么是看看第 kkk 位呢？由于二进制只有000和111，求与运算后若为000，说明第 kkk 位是000；若是111，说明第 kkk 位是111。例见下图：

代码(C++)

#include <iostream>using namespace std;const int N = 100010, M = 31 * N;
int a[N], son[M][2], n, idx;void insert(int x)
{int p = 0;for (int i = 30; i >= 0; i --){// 取出 x 的第 i 位二进制数int u = x >> i & 1;if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;p = son[p][u];}
}int query(int x)
{int p = 0, res = 0;for (int i = 30; i >= 0; i --){int u = x >> i & 1;// 对于当前位的二进制数// 尽可能往其出现过的相反的方向走，假设当前位 u = 0// 若1的那个方向的 trie树枝干被创建则向那个方向走// 若没有被创建，则先将就一下走0的方向if (son[p][!u]){p = son[p][!u];res = (res << 1) + !u; // 将当前位加到左移后空出的第0位上}else {p = son[p][u];res = (res << 1) + u;}}return res;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];int res = 0;for (int i = 0; i < n; i ++){// 先插入后运算是为了避免边界问题，对于第一个整数整个树为空// 若先将自己插入进去，则与自己的异或结果始终为0insert(a[i]);int t = query(a[i]);res = max(res, a[i] ^ t);}cout << res;
}