中国余数定理解题步骤

2024-05-13 17:13:40

摘要: 在学习RSA算法时候提及到的算法，用以求一元线性同余方程组，在这里记录一下解题的步骤。

什么是中国余数定理（CRT）

http://baike.baidu.com/view/157384.htm?fromtitle=%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E4%BD%99%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86&fromid=7801504&type=syn （百度百科）
在学习RSA算法的时候有提及到，这里做个总结。

下面一起来看条例题：

X ≡ 2(mod 3); x ≡ 3(mod 5); x ≡ 2(mod 7)
求x ?
解：
可以看到首先使用中国余数定理的条件是三个除数两两互质，明显 3，5，7 符合条件。
接下来我们看一个表

mi	Mi	Mi^-1	Mi*(Mi^-1 mod mi)
3	35	2	70
5	21	1	21
7	15	1	15

表里面的mi 就是我们可以从题目里面知道的除数3 ,5 ,7
Mi就是除了当前行mi 以外的另外两个除数的乘积，例如 mi = 3 的时候，Mi = 3*7 = 35
接下来是Mi^-1，这个含义是指Mi 的反约数。
反约数分乘法反约数和加法，在这里我们用的是乘法反约数，意思是可以与 Mi 相乘然后除以 mi 余 1 的数，公式看就是 (Mi^-1 * Mi) mod mi = 1。

要的数都齐了，然后我们就要用三个 Mi*(Mi^-1 mod mi) 各自乘以原来题目式子里面的余数，再将三个结果加起来，例如：
Mi*(Mi^-1 mod mi) = 70 对应的mi是3 对应的式子是 X ≡ 2(mod 3)，所以 70*2 = 140.

之后求到三个和为：15*2+70*2+21*3 = 233

最后一步就是用我们求到的这个数去和三个除数的乘积M 求模
x = 233 mod 105 = 23;

最后就能求到我们想要的x了

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