素数

判断素数

素数的判断：试除法
如果自然数n不能被[ 2 ,n\sqrt nn]内所有素数整除，即为素数
（且素数有一个规律：大于4的素数一定在6的倍数的左右，即总是等于6x+1/6x+5)
代码：

bool prime(int n){if(n<=3)return n>1;if(n%6!=1&&n%6!=5)return false;for(int i=5;i*i<=n;i+=6)if(n%i==0||n%(i+2)==0)return false;return true;
}

查找一定范围内的所有素数（欧拉筛）

const ll N=1e6+10;
int prime[N],num;
bool vis[N];
void getprime(int n){memset(vis,false,sizeof(vis));num=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i])prime[num++]=i;for(int j=0;j<num&&i*prime[j]<=n;j++){vis[i*prime[j]]=true;if(i%prime[j]==0)break;}}
}

练习：质数距离

题目

思路分析：
1.此题查找的范围大，如何缩小质数的查找范围呢？
若一个数x是合数，那么它一定能在[ 2 ,x\sqrt xx]范围内找到至少一个素数能整除x：所以我们在查找素数的时候只需要查找到r\sqrt rr就可以啦
2.查找后怎么将[l,r]范围内的素数找出来呢？
（由于我们没有把[l,r]范围内的所有素数找出来所以不能直接得到所有的素数）
可以先筛掉[l,r]范围内的合数。从每一个素数x，从max(x*2,(l+x-1)/x*x)开始每次加素数（即素数的倍数）……标记合数，直到素数 * n>r的时候停止，每个素数重复此操作便可把[l,r]范围内所有的合数标记一遍剩下的即素数；
（x为素数）
max(x*2,(l+x-1)/x*x)解释：
(l+x-1)/x*x：是为了找到第一个在[l,r]范围内的合数,即⌈lx⌉∗x\lceil \frac{l}{x} \rceil*x⌈xl⌉∗x；
实际上为⌈lx⌉\lceil \frac{l}{x} \rceil⌈xl⌉，由于int为截断整数部分所以公式为如上形式；
x*2：若⌈lx⌉\lceil \frac{l}{x} \rceil⌈xl⌉为1则应该为x*2因为x本身为质数，x∗⌈lx⌉=x∗1=xx* \lceil \frac{l}{x} \rceil= x * 1=xx∗⌈xl⌉=x∗1=x 此时把x标记为合数就错了。

为了防止数据太大标记的时候超出数组的内存，我们可以做个小优化：
就是标记的是实际（合数−l-l−l）在后面查找素数的时候记得➕lll就可以啦
完成筛合数的工作就开始存放[l,r]范围内的质数然后遍历相邻质数两两之间的距离即可；

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int N=1e6+10;
int prime[N],num;
bool vis[N];void getprime(int n){memset(vis,false,sizeof(vis));num=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i])prime[num++]=i;for(int j=0;j<num&&i*prime[j]<=n;j++){vis[i*prime[j]]=true;if(i%prime[j]==0)break;}}
}int main(){int l,r;while(~scanf("%d%d",&l,&r)){getprime(sqrt(r));memset(vis,false,sizeof(vis));//[l,r]内的所有合数筛掉 for(int i=0;i<num;i++){ll c=prime[i];for(ll j=max(2*c,(l+c-1)/c*c);j<=r;j+=c){vis[j-l]=true;}}num=0;//存[l,r]范围内的质数for(int i=0;i<=r-l;i++){if(!vis[i]&&i+l>1){prime[num++]=i+l;}}  if(num<2){cout<<"There are no adjacent primes."<<endl;}else{int maxx=0,minn=0;for(int i=0;i+1<num;i++){int d=prime[i+1]-prime[i];if(prime[maxx+1]-prime[maxx]<d)maxx=i;if(prime[minn+1]-prime[minn]>d)minn=i;}printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n",prime[minn],prime[minn+1],prime[maxx],prime[maxx+1]);}}return 0;
}

约数

概念

约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。（摘自百度百科）

考点

唯一分解定理

唯一分解定理：任意一个大于1的自然数nnn都能被表示成有限个素数的乘积且表示方法是唯一的；整理可以将相同素数的合并；可以得到公式n=P1a1∗P2a2∗…∗Pnann=P_1^{a_1} * P_2^{a_2} * …* P_n^{a_n}n=P1a1∗P2a2∗…∗Pnan
PiP_iPi均为素数且(P1<P2<……<Pn)( P_1 < P_2 < ……<P_n)(P1<P2<……<Pn)

约数个数

n的正约数个数为：(a1+1)∗(a2+1)∗(a3+1)∗…∗(an+1)=∏i=1n(ai+1)({a_1}+1)*({a_2}+1)*({a_3}+1)*…*({a_n}+1)= \prod_{i=1}^{n}({a_i}+1)(a1+1)∗(a2+1)∗(a3+1)∗…∗(an+1)=∏i=1n(ai+1)

约数之和

n的正约数之和：(1+P1+P12+…+P1a1)∗(1+P2+P22+…+P2a2)∗…∗(1+Pm+Pm2+…+Pmam)(1+{P_1}+{P_1}^2+…+{P_1}^{a_1})*(1+{P_2}+{P_2}^2+…+{P_2}^{a_2})*…*(1+{P_m}+{P_m}^2+…+{P_m}^{a_m})(1+P1+P12+…+P1a1)∗(1+P2+P22+…+P2a2)∗…∗(1+Pm+Pm2+…+Pmam)=== ∏i=1n\prod_{i=1}^{n}∏i=1n (∑j=0ai\sum_{j = 0} ^{a_i}∑j=0ai Pij{P_i}^jPij)

题目：Aladdin and the Flying Carpet

题目

一些解释
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int N=1e6+10;
int prime[N],num;
bool vis[N];
ll s,d;
void getprime(int n){memset(vis,false,sizeof(vis));num=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i])prime[num++]=i;for(int j=0;j<num&&i*prime[j]<=n;j++){vis[i*prime[j]]=true;if(i%prime[j]==0)break;}}
}ll find(){ll ans=1,ss=s;if(s/d<d)return 0;for(int i=0;i<num&&prime[i]*prime[i]<=s;i++){int c=0;while(s%prime[i]==0){c++;s/=prime[i];}ans*=(c+1);} if(s>1)ans*=2;//此时还有一个因子可以在原因数情况下选择乘或不乘两种情况，所以乘上2 ans/=2;//这里很好若出现正方形的情况在除以2 的时候亦可以把正方形给消去 for(int i=1;i<d;i++)//暴力除去边长小于d的情况 if(ss%i==0)ans--;return ans;
}int main()
{int t,num=0;cin>>t;getprime(N);while(t--){cin>>s>>d;printf("Case %d: %lld\n",++num,find());}    return 0;
}

反素数

定义

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 且 0<i<x，则称x为反素数。例如，整数1，2，4，6等都是反素数。（摘自百度百科）

反素数可以理解为：约数相同时的最小数

结论

从中，我们可以得到：
若n为反素数，则一定满足：
n=2t1∗3t2∗5t3∗7t4∗…n=2^{t_1}*3^{t_2}*5^{t_3}*7^{t_4}*…n=2t1∗3t2∗5t3∗7t4∗… 且 t1≥t2≥t3≥t4…{t_1}\geq{t_2}\geq{t_3}\geq{t_4}…t1≥t2≥t3≥t4…
即尽可能让质因子数量多且数值小

题目

题目

分析：
反素数的不同质因子不会超过10个：
2∗3∗5∗7∗11∗13∗17∗19∗23∗29∗31>2∗1092*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31>2*10^92∗3∗5∗7∗11∗13∗17∗19∗23∗29∗31>2∗109
反素数所有质因数总和不会超过30：
231>2∗1092^{31}>2*10^9231>2∗109
可以采用dfs暴搜
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int N=30;
int prime[N]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};int n,ans,sum=0;
/*sum:记录最大约数个数pos:待搜索质因子序号last:待搜索质因子指数最大值mul:约数之积s:每轮约数个数
*/
void dfs(int pos,int last,int mul,int s){//更新反素数if(s>sum||(s==sum&&mul<ans)){sum=s;ans=mul;}for(int i=1;i<=last;i++){if((ll)mul*prime[pos]>n)break;mul*=prime[pos];dfs(pos+1,i,mul,s*(i+1));}
}int main()
{cin>>n;dfs(0,30,1,1);cout<<ans<<endl;return 0;
}

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