线性代数 【23】 概念的深入01 - Points坐标点和Vectors向量
前言:
在本栏目文章7,12都提到过向量的概念,两篇文章对向量的表述分别从代数和几何的定义出发,但,觉得还是不够深入。本节从代数和几何学角度结合实际在深入讨论一下。
本节从的n维坐标系【n coordinates】出发,仔细透彻的阐述了向量的根本意义,希望能协助阅读文章的哥们理解。
小结:
向量就是一组有逻辑关系的数据。【就是这么简单啊,结了,理解的可以 PASS 了】
写在前面的话:
咱们中国人在数学领域的建树在两千年的长河里面是在是太少了,直到最近,浙江平湖的张益唐先生,一数论和质数间的有解问题,推动了数学进展,从而立身名人堂之列。
Timeline of Mathematics | Mathigon
1【准备】的概念:
- Arthur Cayley:
1846年,这个家伙25岁的时候,提出来的矩阵代数,说一个四维空间的四维的点可以正确的用几何表达,而不需要借助任何超自然的解释。
由此,多维向量的来源首先和多维空间的点的表述有关联。本文也从这个思路,先从多维空间的点理解来讨论。
1.1 数学和其他领域的向量的不同
- 物理:
在物理学,尤其是气体研究压强和温度,向量包括位置、时间、温度、压强。流体力学研究场,向量表示场中,流体粒子的方向,但,这些都不是数学概念里面的向量。
- 生物:
研究 Sharks and Sardiness的时候的表述。
- 数学:
将事物的变化表述为函数functions,而function 其实就是一组n 个数字到m个数字的的转换:用数学表述为:,而向量就是表述变化中的那组数据。
1.2 向量的重要性:
向量是整个线性代数应用的基础。向量还是向量空间的构成元素,是进行多变量微积分的基础。向量是数学多维空间变换的基本要素。
2 向量的本质
向量的本质就是一组有关系的数列:
在之前的分析中,向量可以理解为是运动的,施光燕老师说“一行或者一列的数字,这些数字是有逻辑关系的。我们称为向量”。Essence of linear algebra 视频中将向量的定义从两个基本的基向量出发,给出了向量的基本的数学和几何解释。Dr.Trefor Bazett 在linear Algebra课程提到,向量就是一组指引(an instruction)展示了向量的变换和运动的属性。
在《vector calculus linear algebarta and differential Forms.》中,给出了向量和点再实数空间的本质区别:
- point是position位置
- vector是increment或者displacement
【案,书中举例传统物理学中,将物理里的向量定义为有magnitue量和direction方向的属性才为向量,比如速度、力。但是,这magnitue量和direction方向两个概念,但是这两个定义过于局限。比如,温度是只具备量概念,但是,温度可以变化,比如可以由低温到高温,这样就有了升温,降温两个方向,所以,也可以定义为向量。】
2.1 实数空间 Real Space:点和向量的区别,
在表述所有概念之前,我们下了解实数空间的表述方法。
这个符号,就表述了n个实数列(orderd lists of real number)所表述的空间space.
我们最熟悉的笛卡尔空间里面,两个坐标x,y表述一个平面就是,x,y,z表述就是
例如,坐标x,y是空间的的一个元素。x,y,z是空间的元素,而,空间的元素,是一组n个数字的顺序的集,或者我们认为,其中的元素具有x1,x2,...,xn的坐标。
点和向量都可以说这个空间的元素,那么这么区别呢,从根本上讲,表征位置的元素我们叫做点,而表征displacement和increment,我理解为迁徙关系或者变化量的时候我们用向量。
一般的:
用圆括号表述点,
用方括号表述向量:
2.1 Point 点和Cartesina笛卡尔空间的局限性:
由2.1,通常我们表述的n维向量的点的表述就是用他的n个坐标point(x,y,z,....)来表示,这些坐标就是n个实数的列表。
例如:在平面上,表征一个(2,3)的点,
point用来表述positional的数据是比较好的,但是对于表征变化或者迁徙的数据就不行了。
现在我们看向量的表述图:
上图中,有三个向量,他们都是同一个向量,当然,他们的original不一样
我们在向量的本质一节,开始,就讨论了,向量vector是increment或者displacement,这样,我们可以比较形象的理解向量和坐标点的不同,坐标点主要是表征坐标系中的位置,而向量则由原点和变换或者说迁徙的长度构成,一个向量数序可以表征无数个相似的变化】
这样即使是像股票这样的复制繁杂的数据集,也可以看成是向量的集。
2.2 点和向量的区别
前面,我们讨论点表述的是位置的信息,所以,点的加是没有意义的,比如,北京+上海没有意义。而向量表述的是迁徙和变换,那么,向量的加就是有意义的,比如,到北京的距离+到上海的距离。
一般的:
用圆括号表述点,
用方括号表述向量:
对的元素来说,就是一组有序的数字列表,他可以是点或者是向量,但是,在线性代数里面,需要默认认为他的元素就是向量。这也是多维复数运算的正确的语言表达和工具。
【案】当然,本质上讲,向量的increments的研究,本质也是基于点的相关性进行的,这一点后面一节会逐渐理解贯通。
2.3 向量加减和点
向量的本质,其实就是表征了点的变换关系,比如:
上图中, 向量其实就是表征了,点a,到点b的不同。在的空间里面,点a,到点b的变换,从x,y,z三个坐标来看,就是每个坐标下,都增加了单位长度1(0+1,0+1,0+1)
然后,我们再b点上,再来一个到c(2,2,0)点的变换,向量表征了b点到c点的不同,(1+1,1+1,1+0)
那么有了点a,点b表征的向量,和点b点c表征的向量
那么,自然有点a,点c表征的向量 ,那么他们什么关系呢?
现在,我们思考一下,如果,a点的变化直接到c点呢?我们也可以理解a先变动到b,再由b变动到c,
也就是,
这就引出了向量加的概念,就是点的运动或者是变换的和,和的计算方法,可以通过每个坐标的分量分布累加起来获得,
【案 如果这个变换是初等的线性变换,例如,加减乘除等,那么我们就称为向量的线性变换。】
如果,令ab=w,ac = u,bc =v,有
如果v1,v2... 分别为空间里面,向量v的各个分坐标变化量,
如果w1,w2... 分别为空间里面,向量w的各个分坐标变化量,
然后,我们又把这些坐标竖的表述,那么就有向量加减的一般表达式如下:
单词:向量的关键两个参数分布为:
Magnitude 量
direction 方向
prerequisite 前提
参考:
线性代数【7】 向量和线性相关性_Franklin的博客-CSDN博客https://dimensionspacex.blog.csdn.net/article/details/121439079线性代数【12】矢量(向量) - 概念和专有名词_Franklin的博客-CSDN博客https://dimensionspacex.blog.csdn.net/article/details/121575215
《vector calculus linear algebarta and differential Forms.》
本例中的向量绘制方法可以参阅:
(1条消息) Matlab 绘制 - 点和向量:向量加减的方法和源码_Franklin的博客-CSDN博客
线性代数 【23】 概念的深入01 - Points坐标点和Vectors向量相关推荐
- 百度地图 - 点聚合方式批量渲染坐标点
最近在做一个大数据人员分布的系统,需要能够在地图上渲染数据库中的坐标点,大概有四万个坐标点,普通的渲染方式会导致客户端崩溃的,或者是坐标点太过于密集,用户体验差.于是使用了百度地图的点聚合方式,特此记 ...
- 使用 .NET 标记游戏地图关键坐标点
本文以天涯明月刀 OL 游戏的云上之城探索玩法为例,介绍如何使用 .NET 在游戏地图中标记大量关键坐标点. 1. 背景 大概很多程序员都是喜欢玩游戏的吧,我也不例外.我们经常会看到电视剧中的各路游戏 ...
- matlab gui 鼠标选择矩形区域 返回鼠标坐标点
1.鼠标选择矩形区域 --- Executes on button press in pushbutton1. function pushbutton1_Callback(hObject, event ...
- 计算机图形学Web前端笔记-定位并移动到指定坐标点(two.js理论及实现)
这里先演示下效果笔记毕竟这是给理论及实践的博文. 当按下回车后 会到场景600,600中画个圆并且浏览器会移动到场景600,600的位置,并且这个位置将会是圆心. 同样,滑动滚轮进行放缩后,还是能进行 ...
- 【pytorch】torch.meshgrid()==>常用于生成二维网格,比如图像的坐标点
np.meshgrid()函数常用于生成二维网格,比如图像的坐标点. x1 ,y1 = torch.meshgrid(x,y) 输入参数: 参数是两个,第一个参数我们假设是x,第二个参数假设就是y ...
- 用c++定义两个坐标点,计算两点间距离;进而计算线段的面积
//本程序有三个层次 //第一层(define_class.h):构造坐标点类,颜色和宽度的结构体,线段类 //第二层(function.h):对上一层声明的函数进行定义 //第三层(distance ...
- c++求两点的距离利用友元_用c++定义两个坐标点,计算两点间距离;进而计算线段的面积...
//本程序有三个层次 //第一层(define_class.h):构造坐标点类,颜色和宽度的结构体,线段类 //第二层(function.h):对上一层声明的函数进行定义 //第三层(distance ...
- cesium地图添加坐标点
附上api文档链接 showPoint(){this.pointLayer= new Cesium.CustomDataSource("pointLayer");cViewer.d ...
- 【Educoder作业】绘制炸弹轨迹 I——绘制一个坐标点
[EducoderEducoderEducoder作业]绘制炸弹轨迹 I--绘制一个坐标点 T1HelloWorldT1\ Hello\ WorldT1 Hello World print('Hell ...
- CAD坐标点、经纬度坐标点转ARCGIS矢量,求重叠面积
因工作需要尝试了很多次,记录一下,有缘帮助到大家的话,很开心.(如提供某工业区坐标点;求其与已有矢量的重叠面积) CAD格式的点数据: 通常可能CAD数据是没有加带号偏移的(例如:570058.6 3 ...
最新文章
- MYSQL忘记登录密码
- 人人都有好工作:IT行业求职面试必读
- 常用 SQL Server 规范集锦
- rocksdb原理_[转]Rocksdb Compaction原理
- VSS2005 上传pdf 空白
- java事件 socket_java中有关socket通信的学习笔记
- 《『若水新闻』客户端开发教程》——06.设计新闻内容UI
- 使用Redis+java(模仿数据库)实现对象存取和读取
- 【ide】myeclipse项目右键没有configure
- 0x00000004 因果推理 —— 入门学习笔记
- os_pend_multi.c
- Element UI 应用精讲
- Apache Curator客户端的使用
- 教你一招:复制不能复制的网页文字(通用篇)
- 安卓TabLayout的使用
- idea登录gitee插件报错Unauthorized -null
- 广州百田前端实习生面试经历
- Qt之QTextCodec乱谈
- informatica odbc oracle,Informatica数据源配置
- MPchart使用详解及详细属性(一)