控制系统的数学模型

背景
建模方法
常用的数学模型
时域数学模型的建立
- 建立微分方程的步骤
复数域模型的建立
- 传递函数的性质
系统的典型环节及传递函数
- 比例环节
- 惯性环节
- 积分环节
- 微分环节
- - 理想微分环节
  - 一阶微分环节
  - 二阶微分环节
- 振荡环节
- 延时环节（时滞环节）

背景

数学模型就像是真实世界的写照，它就像一个虚拟的世界，我们可以通过建模的方式了解这个真实世界的运作规律。

这一点很像强化学习，强化学习需要一个供智能体探索、学习的环境，于是，我们通常会事先建立一个虚拟的仿真环境。举个例子，对于人类来说，可能需要经过不断地尝试，甚至是生命的代价，才知道遇到熊时，比起逃跑，装死才是明智的选择。而有了一个虚拟环境以后，我们可以让智能体在环境中随意尝试，因为在虚拟环境中发生的事并不会影响现实世界。

如果说的大一点，就好像火箭发射。火箭的制造成本是很高的，如果每次做实验都用真火箭发射，那么这个实验的成本是相当高的，因此，我们首先需要建立一个数学模型，先在数学模型上分析，再应用到实际中去。

建模方法

数学模型有两种建模方法：

分析法——根据物理规律和化学规律列出方程式
实验法（系统辨识）——施加信号，记录响应，用适当的数学模型进行逼近

在电学、力学等传统科学中，一般都有很多前人留下的理论，比如基尔霍夫定律、牛顿定律等，因此一般都采用分析法来建立数学模型

而在一些比较新兴的领域，比如深度学习里用到的神经网络，探究某一神经网络的输入与输出关系时，可以用到实验法。比如输入一个数，输出它的相反数，我们需要不断地记录网络实际输出与我们的期望输出，并对网络的权重做出调整，最后达到我们想要的效果。

常用的数学模型

时域模型——微分、差分、状态方程
复数域模型——传递函数、结构图
频域模型——频率特性

时域数学模型的建立

微分方程是描述控制系统最基本的数学工具，他是对物理系统输入/输出的描述。

当系统的输入量和输出量都是时间t的函数，如果微分方程是线性的，并且各项系数都为常数，则称之为线性定常系统的数学模型。

比如一个RLC电路：

根据基尔霍夫定律，可以得到：

质量-弹簧-阻尼系统：

又牛顿定律可以得到：

这一步是非常关键的，我们需要知道这个系统是怎么工作的，才能更好的研究它。

方程左边是输出，右边是输入，我们需要研究输入与输出之间的关系。

这在神经网络上也是类似的，如果要求一个数的相反数，我们知道解决它的方程应该是y=kxy = kxy=kx,然后我们再通过训练学习这个参数k。如果一开始的时候，我们就把方程列错了，加入列了一个二次方程，那不管再怎么训练，最后得到的系统都是不稳定的。

建立微分方程的步骤

微分方程关注输入与输出之间的关系，这一点非常重要。

总的来说，建立系统的微分方程需要全面了解系统的工作原理、结构和运动规律，一般步骤如下：

根据系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，理顺各变量之间的关系
从系统的输入端开始，根据信号的传递顺序和各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写他们的微分方程
将所得的各元件或环节的微分方程联立起来，消除中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程
将微分方程整理成标准形式，即将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的放在方程的左边，各导数项按降幂排序，各项系数化成有物理意义的形式

复数域模型的建立

利用拉普拉斯变换可以简化微分方程的求解，除此之外，它还可以将用线性定常微分方程描述的数学模型转换为复数域内的数学模型——传递函数。

传递函数：
在线性系统中，零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。

需要注意的是传递函数一定要是有理真分式即多项式系数均为实数。

在现实生活中，有输入才有输出，而传递函数的分母是输出，因此分母的阶次应该比分子大

系统微分方程的一般形式是：

等式两端逐项取拉普拉斯变换，并设初始条件为0，有：

最后整理成传递函数：

传递函数的性质

首先，传递函数具有复数零、极点，因此传递函数可以用来做定性分析。

当s=0s=0s=0时的值决定了对应系统的稳态性能（系统最终稳定后与期望值的偏差），s=0s=0s=0即时间趋于无穷，此时系统应该处于稳态。

换句话说，G(0)G(0)G(0)的值与期望值越接近，则该系统的稳态性能越好。

系统的典型环节及传递函数

任何系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节。

比例环节

它的特点是既无极点又无零点，该环节的传递函数为一常数：

惯性环节

它的特点是具有一个负实数极点。该环节的传递函数为：

积分环节

它的特点是具有一个位于坐标原点处的极点。该环节的传递函数为：

微分环节

微分环节起主要作用的不是极点而是零点，于是在暂态过程中环节的输出量将含有与输入微分成比例的分量。

理想微分环节

它的特点是具有一个位于坐标原点上的零点，该环节的传递函数为：

一阶微分环节

其传递函数为：

二阶微分环节