自动控制原理期末复习（Part2数学模型）
本文涉及图片均来自《自动控制原理（第2版）》（清华大学出版社）
第二章 控制系统的数学模型
本章内容是后续章节完成分析和设计任务的基础，介绍了贯穿全书的数学工具——传递函数。用建立微分方程的复杂反衬传递函数的简便，再推出建立传递函数的三种方法。
数学模型的形式：
- 按时/频域分类
- 时域：微分方程、差分方程、状态空间模型
- 频域：传递函数、方块图、频率特性
- 按描述关系
- 输入输出模型：系统输入量和输出量的关系
- 状态空间模型：系统输入量与内部状态之间/内部状态与输出量之间的关系
针对线性系统，可以通过拉氏变换/傅氏变换将时域模型转换为频域模型。
建立控制系统数学模型的方法：
- 分析法：控制系统结构和参数已知，根据相关学科知识建立相应等式方程
- 实验法：控制系统结构和参数部分已知或完全未知，根据系统对施加的某种测试信号的响应或其他实验数据，来建立数学模型，也叫做系统辨识
一、典型控制系统的微分方程模型
拆分成很多个彼此关联的小系统，单独列写等式关系，然后消去中间变量最终得到只有题设输入输出量（可能涉及这些量的导数或积分）的一个等式。
1.1 机械系统
常用定理与常用的简化假设：
- 牛顿第二运动定律：质量-弹簧-阻尼系统中的壁摩擦只和质量运动速度成比例（
）
- 刚体定轴转动定律：小角度的三角函数线性化（
）
1.2 电路系统
基本元件：电阻、电容、电感、理想运放
基本规律：基尔霍夫电压电流定律、运放的虚短虚断
常用结论：
- 电容：
- 电感：
1.3 机电系统
基本元件：直流电动机
基本规律：
- 磁通量与励磁电流成正比：
- 电磁转矩与磁通量和电枢电流成线性关系：
- 因此可以通过
或
控制电动机的转速
- 因此可以通过
- 电枢反电动势与励磁磁通和转速成正比，与电枢电压方向相反：
两种结构：
- 电枢控制式（电驱动）：电枢电压
为输入，电机转速
为输出
- 忽略电枢电阻电感、电机转动惯量、扰动转矩，结论：
- 磁场控制式（磁驱动）：励磁电压
为输入量，电动机转速
- 忽略电机转动惯量、扰动转矩，结论：
，其中
是电动机轴摩擦，
是磁控电机转矩系数
二、传递函数
2.1 定义
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
说明：
- 传递函数仅适用于线性定常系统；
- 传递函数要求初始条件为零，即输入输出量在0时刻各阶导数均为0；
- 传递函数只与系统的结构与参数有关，与输入无关；
- 传递函数只针对单输入单输出系统，对于多输入，将其余输入置零只保留待研究的唯一输入；
- 传递函数是复变量
的有理真分式函数，具有复变函数一切性质；由于系统存在惯性，分母多项式阶次高于分子，以分母阶次定义系统阶次。
传递函数的形式
若线性定常系统由以下微分方程描述：
则传递函数为：
- 一般形式：
- 零极点/根轨迹形式：
- 根轨迹增益：
- 根轨迹增益：
- 时间常数形式：
- 开环增益：
- 开环增益：
2.2 典型环节传递函数
- 比例环节：
- 惯性环节：
- 积分环节：
- 微分环节：
- 振荡环节：
- 滞后环节：
三、求系统的传递函数
3.1 直接根据微分方程和传递函数的定义求解
写出系统总的微分方程，将输入输出分列在等号两边，两侧同时取单侧拉氏变换且初始为零，在写成分式即可。
也可以先写出子系统的微分方程，进而求出子系统的传递函数，再合并消去中间量得到系统传递函数。
3.2 方块图
只要经过化简在方块图的局部得到下面这样的目标形式，即可套用闭环传函公式求出等效环节的方程。
该结构的闭环传递函数为：
该结构的开环传递函数为：——开环，就是把反馈环从比较器那里拆开，以上图中
为输入，
为输出按顺序把涉及的环节乘在一起即可。
问题是，像下面这样的方块图如何化简？
记住下表即可！
因此上述方块图的化简步骤如下所示：
3.3 信号流图
根据方块图可以很快建立信号流图，对应关系很好体会：
再利用梅森公式求出传递函数：
- 传递函数的分子=前向通路增益与对应余子式乘积的和
- 前向通路：从系统输入到系统输出中间不重复经过任一节点的一条通路
- 前向通路增益：就是把前向通路上历经的所有函数乘起来
- 对应余子式：传递函数分母中除去与该前向通路接触的所有回路有关的所有的项之后剩余的多项式
- 传递函数的分母=1-单回路增益之和+所有的两两互不接触回路增益乘积的和-所有的每三个互不接触回路增益乘积的和……
- 回路：路径起点终点为同一个节点且为路径中唯一重复经过的节点
- 互不接触：路径中涉及的边和节点没有相同的
个人经验，先观察找出前向通路和回路（数错了就玩完了），再写出前向通路增益、回路增益，然后先写出传递函数分母，再写出传递函数分子。
举个例子，求下列信号流图表示的系统的传递函数：
- 共有2条前向通路：acdef、abef
- 共有4条回路：be(-i)、c(-g)、cde(-i)、e(-h)
- 互不接触的回路只有c(-g)与e(-h)
- 传递函数的分母=1-be(-i)-c(-g)-cde(-i)-e(-h)+c(-g)e(-h)
- 前向通路acdef的余子式：1——所有回路都与之接触
- 前向通路abef的余子式：1——同理
- 传递函数的分子=acdef+abef
- 结束战斗，写出传递函数即可
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