概率论考点之方差及数学期望

如题：2019年10月：

分析：由方差的性质，详见4

D(2x+1)=D(2x)+0=4D(x)=10,所以D(x)=2.5,答案选B

在此之前，不知什么是方差。

1、什么是方差呢？

可以说是建立在数学期望基础上的概念，什么是数学期望呢？详见扩展：《关于数学期望由来？？》

从方差的概念中：X-E(x),可以看出是随机变量X的取值偏离E(x)平均程度的值，可能是正，也可能是负，再取平方之后，都是正。可见方差是对数学期望的偏离程度的放大。如果说数学期望是对一条曲线整体波动性的描述（用值 X 概率，再相加或积分），那么方差则更深入到这个波动性的内部，提示了波动性产生的原因（也就是偏离程度，用随机变量X的平方的数学期望减去 X的数学期望的平方）。

也就是计算方差公式：公式很重要！！！！！！

2、常见离散型随机变量方差：

0-1分布: D(x)=p(数学期望） * （1-p)

二项分布： D(x)=np * (1-p)

泊松分布：Ｄ(x)= $\lambda$ (与数学期望一样）

3、常见连续型随机变量的方差：

均匀分布： D(x)= $\frac{(b-a)^{2}}{12}$ ,区间长度的平方除以12

指数分布： D(x)= $\frac{1}{\lambda ^{2}}$

正态分布： D(x)= $\sigma$ ^2

4、方差的性质：

扩展：

关于数学期望由来？？

整个随机变量的数学特征，数学期望描述的是随机变量取值的平均程度。方差描述的是随机变量的取值偏离其数学期望的偏离程度。相关系数描述的是两个随机变量之间的相互关系，是不是具有线性关系。可见，前两个都是随机变量的取值的特征，也是最先想到的，至于为什么用平均程度来衡量呢？书中提到个词“波动性”就很关键了，这也是其中的原因。

离散型随机变量的数学期望：

为什么离散型随机变量的数学期望是通过不同值乘其对应概率，相加得到的呢？可以从其离散型随机变量图形得到，每个具体的值（在x轴），分别对应一个不同的概率值，相加后自然会得到一个值，对于同一个事物研究这个和，仿佛没有什么意义，但当相同的事物大于2个的时候，和越大，说明这个事物的波动性越大，越不稳定，从而具有现实意义和价值。

需要记忆的常见离散型随机变量的数学期望：

0-1分布：P{X=1},P{X=0}=1-p,EX=1*p+0*(1-p)=p

二项分布：X $\sim$ (n,p) , EX=np

泊松分布：X $\sim$ P( $\lambda$ ),EX= $\lambda$

离散型随机变量的函数的数学期望：由于随机变量X是离散的，那么关于X的函数也是离散的，所以求函数的分布律只需要将X换成X函数的形式就可以了

连续型随机变量的数学期望：

连续型随机变量的数学期望是：没有边界[ $-\infty ,+\infty$ ]的积分，什么含义呢？由连续型随机变量的图形（脑补成一条曲线），x就取全域值[ $-\infty ,+\infty$ ]，f(x)代表这条曲线，积分的话是f(x)在x全域上的值相加，可以看到要知道“波动性”是不是也可以通过个相加的值呢？脑补一下，不同高度的曲线面积。所以连续型随机变量的数学期望就是全域上的积分值。

需要记忆的常见连续型随机变量的数学期望：

均匀分布：EX= $\frac{a+b}{2}$ ,也就是[a,b]区间的中点。符合数学期望是关于平均程度的描述。

指数分布：EX= $\frac{1}{\lambda }$

正态分布：X $\sim$ N( $\mu$ , $\sigma$ ^2)EX= $\mu$ .

连续型随机变量函数的数学期望：也是将随机变量换成随机变量函数的形式，概率密度不变。

二维随机变量的数学期望：思想与一维是一样的，千万不要记公式，只需要明白原理（参考一维)

离散型：

连续型：

数学期望的性质：

性质1-3总结：线性组合的数学期望等于期望的线性组合

总结：

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