最小二乘法曲线拟合原理

一、最小二乘法原理

对于给定的一组数据（xi,yi），假定它满足n次多项式：

为了求取各阶参数的最优解，对于每个xi，通过n次多项式计算的值和yi之间的差值的平方和应该最小，即：

由于其拟合函数为多项式，这样的曲线拟合问题又叫多项式拟合问题，特别的，当n=1时，一次多项式拟合又叫直线拟合。将a0，a1…an作为变量，对上式进行偏分求导，得到n+1组方程：

可以简化为：MA=B，则A=M-1B；或者通过消元法求解各个a的值。其中：

二、最小二乘法矩阵表示

对于给定的一组数据（x1,y1），其矩阵表示为：

对于m个点对来说，可以组合成矩阵的模式：

利用矩阵表示为XA=Y，其中此种超定方程的最小二乘解为：

三、代码实现（基于第一种表示）

以两次多项式为例，各阶求和函数，2阶：

double average2(double* x0, double* y0, int Num)
{   double addsum = 0;double addaverage = 0;  for (int i = 0; i < Num; i++) {               addsum = addsum + x0[i] * y0[i];}addaverage = addsum / Num;  return addaverage;
}

3阶：

double average3(double* x0, double* y0, double* z0, int Num)
{double addsum = 0;    double addaverage = 0; for (int i = 0; i < Num; i++) { addsum = addsum + x0[i] * y0[i] * z0[i];    }   addaverage = addsum / Num; return addaverage;
}

其它阶次的函数可参考实现。多项式系数求解：

bool calcPolFit2(double * ValidX, double * ValidY, int Num)
{int validNum = Num;   arma::mat matM(3, 3);   arma::vec matB(3, 1);   arma::vec result(3, 1);//组织矩阵M  matM(0, 0) = average4(ValidX, ValidX, ValidX, ValidX, validNum);   matM(0, 1) = average3(ValidX, ValidX, ValidX, validNum);   matM(0, 2) = average2(ValidX, ValidX, validNum);   matM(1, 0) = matM(0, 1);   matM(1, 1) = matM(0, 2);   matM(1, 2) = average1(ValidX, validNum);   matM(2, 0) = matM(0, 2);   matM(2, 1) = matM(1, 2);   matM(2, 2) = 1;//组织矩阵B matB(0) = average3(ValidX, ValidX, ValidY, validNum);  matB(1) = average2(ValidX, ValidY, validNum);  matB(2) = average1(ValidY, validNum);  result = inv(matM)*matB;   A = result(0); B = result(1); C = result(2);     return true;
}

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