这个问题的范围很广，但这里有一些简单的想法(和代码！)这可能是计算arctan的起点。首先，好的老泰勒级数。为了简单起见，我们使用固定数量的术语；实际上，您可能需要根据x的大小来决定要动态使用的术语数量，或者引入某种收敛准则。在固定数量的条件下，我们可以使用类似于霍纳方案的方法有效地进行评估。在def arctan_taylor(x, terms=9):

"""

Compute arctan for small x via Taylor polynomials.

Uses a fixed number of terms. The default of 9 should give good results for

abs(x) < 0.1. Results will become poorer as abs(x) increases, becoming

unusable as abs(x) approaches 1.0 (the radius of convergence of the

series).

"""

# Uses Horner's method for evaluation.

t = 0.0

for n in range(2*terms-1, 0, -2):

t = 1.0/n - x*x*t

return x * t

上面的代码对于较小的x(比如说在绝对值中小于0.1)，但是随着x变大，精度下降；对于abs(x) > 1.0，无论我们向它扔多少项(或多高的精度)，序列永远不会收敛。所以我们需要一种更好的方法来计算更大的x。一种解决方案是通过标识arctan(x) = 2 * arctan(x / (1 + sqrt(1 + x^2)))使用参数缩减。这给出了以下代码，该代码构建在arctan_taylor上，为范围广泛的x提供合理的结果(但是在计算x*x时要注意可能的溢出和下溢)。在

^{pr2}$

或者，给定tan的现有实现，您可以简单地使用传统的根查找方法找到方程tan(y) = x的解{}。由于arctan已经自然地被限定在区间(-pi/2, pi/2)，所以对分搜索效果很好：

^{3}$

最后，为了好玩，这里有一个类似CORDIC的实现，它确实比Python更适合于低级实现。这里的想法是，您可以一次性地预计算1，1/2,1/4,等的arctan值表，然后使用这些值来计算一般的arctan值，基本上是通过计算真实角度的连续近似值。值得注意的是，在预计算步骤之后，arctan计算只涉及2的幂次加法、减法和乘法。(当然，这些乘法并没有比Python级别上的任何其他乘法更有效，但是更接近于硬件，这可能会产生很大的差异。)cordic_table_size = 60

cordic_table = [(2**-i, math.atan(2**-i))

for i in range(cordic_table_size)]

def arctan_cordic(y, x=1.0):

"""

Compute arctan(y/x), assuming x positive, via CORDIC-like method.

"""

r = 0.0

for t, a in cordic_table:

if y < 0:

r, x, y = r - a, x - t*y, y + t*x

else:

r, x, y = r + a, x + t*y, y - t*x

return r

上面的每一种方法都有它的优点和缺点，上面所有的代码都可以通过多种方式进行改进。我鼓励你去尝试和探索。在

总而言之，与标准库math.atan函数的输出相比，以下是对少量未经仔细选择的测试值调用上述函数的结果：test_values = [2.314, 0.0123, -0.56, 168.9]

for value in test_values:

print("{:20.15g} {:20.15g} {:20.15g} {:20.15g}".format(

math.atan(value),

arctan_taylor_with_reduction(value),

arctan_from_tan(value),

arctan_cordic(value),

))

我的机器上的输出：1.16288340166519 1.16288340166519 1.16288340166519 1.16288340166519

0.0122993797673 0.0122993797673 0.0122993797673002 0.0122993797672999

-0.510488321916776 -0.510488321916776 -0.510488321916776 -0.510488321916776

1.56487573286064 1.56487573286064 1.56487573286064 1.56487573286064