第五章多元函数微分学

2024-05-28 07:58:49

第五章多元函数微分学

1.多元函数极限、连续、偏导数与全微分

1.1二元函数的极限与连续

重极限定义：

【注意】：趋向是具有任意性的。
二元函数连续：

连续函数的性质：

联系函数的和、差、积、商均是连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数。
（最大值最小值定理）在有界闭区域上的连续函数，在该区域上有最大最小值。
（介值定理）在有界区域上的连续函数，可取到它在该区域上的最大最小值之间的任意值。

1.2二元函数的偏导数与全微分

1.偏导数的概念

2.注意联想偏导数几何意义
3.全微分概念：

4.可微的必要条件

5.可微的充分条件

6.多元函数连续、可导、可微之间的关系

【注意】：罪魁祸首在可偏导，二元函数可偏导仅仅在x,y轴方向上，连续与可微是用重极限定义的，是从各个方向趋近的。

2.多元函数微分法（复合函数求导；隐函数求导）

2.1复合函数偏导数与全微分

1.求导法则：记住链式法则以及树形图法

多元函数与一元函数的复合
多元函数与多元函数的复合

2.高阶偏导数及混合偏导数
二阶偏导
混合偏导与次序无关问题

3.全微分形式不变性

2.2隐函数偏导数与全微分

由一个方程确定的隐函数（一元函数）-----一个函数一个自变量
由一个方程确定的隐函数（二元函数）-----一个函数二个自变量
由方程组确定的隐函数（一元函数）-----二个函数一个自变量
由方程组确定的隐函数（二元函数）----二个函数二个自变量

3.极值与最值

3.1无条件极值

1.极值与极值点的概念（略）
2.多元函数驻点的概念
函数的一阶导数为0的点(驻点也称为稳定点，临界点)。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。
3.多元函数取得极值的必要条件

4.二元函数取得极值的充分条件（仅使用二元型）

3.2条件极值（拉格朗日乘数法）

4.方向导数与梯度多元函数几何应用泰勒定理

4.1方向导数

4.2梯度

4.3曲面的切平面

4.4曲线的切线与切平面

4.5泰勒定理

1.二元函数泰勒展开式

2.拉格朗日余项

3.拉格朗日中值定理：

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