高斯消元：列主消元法

什么是列主消元

（注： akk代表第k行第k列的权值，以下摘自百度百科：列主消元法）
列主元素消去法是为控制舍入误差而提出来的一种算法，列主元素消去法计算基本上能控制舍入误差的影响，其基本思想是：在进行第 k(k=1,2,…,n-1)步消元时，从第k列的 akk及其以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换将它交换到主元素akk的位置上，再进行消元。
BZ：好吧！其实思路的挺清晰的，那么，我们就开始放代码了：：：

//#include<bits/stdc++.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<stack>
#include<queue>           //stack的头文件
using namespace std ;
typedef long long ll;
#define MAXN 501
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MALL (BiTnode *)malloc(sizeof(BiTnode));double a[MAXN][MAXN+1];
double b[MAXN][MAXN+1];
double x[MAXN];
void init(int n)                            //输入n阶矩阵,包含输入增广矩阵，即[n*(n-1)]
{memset(a, 0, sizeof(a));for(int i=1; i<=n; ++i)for(int j=1; j<=n+1; ++j){scanf("%lf", &a[i][j]);b[i][j] = a[i][j];}
}int gaosi(int n)
{for(int i=1; i<n; ++i){if(!b[i][i])return 0;for(int j=i+1; j<=n+1; ++j){double ans = 1.0*b[j][i]/b[i][i];for(int k=i; k<=n+1; ++k)b[j][k] = b[j][k] - 1.0*ans*b[i][k];}}if(!b[n][n])return 0;return 1;
}int gaosi_liezhu(int n)                      //列主消元（上三角）
{for(int i=1; i<n; ++i){double tem = fabs(a[i][i]);          //tem标记第i行第i列以下第x(x >= i)列中的绝对值最大的数int cnt = i;                         //cnt标记第几行，用于行交换。for(int j=i+1; j<=n; ++j){if(fabs(a[j][i]) > tem){tem = fabs(a[j][i]);cnt = j;}}for(int j=i; j<=n+1; ++j)           //行交换{double p = a[i][j];a[i][j] = a[cnt][j];a[cnt][j] = p;}if(!a[i][i])                        //正常的高斯消元return 0;for(int j=i+1; j<=n; ++j){double ans = 1.0*a[j][i]/a[i][i];for(int k=i; k<=n+1; ++k)a[j][k] = a[j][k] - 1.0*ans*a[i][k];}}if(!a[n][n])return 0;return 1;
}void print_a(int n)           //输出消元后的上三角矩阵
{for(int i=1; i<=n; ++i){for(int j=1; j<=n+1; ++j)if(a[i][j] < 1e-5 && a[i][j] > -1e-5)printf("0.0 ");elseprintf("%.1f ", a[i][j]);cout << '\n';}
}void print_b(int n)           //输出消元后的上三角矩阵
{for(int i=1; i<=n; ++i){for(int j=1; j<=n+1; ++j)if(b[i][j] < 1e-5 && b[i][j] > -1e-5)printf("0.0 ");elseprintf("%.1f ", b[i][j]);cout << '\n';}
}void jie_a(int n)                //回代方程求出方程组的解；
{memset(x, 0, sizeof(x));x[n] = 1.0*a[n][n+1]/a[n][n];for(int i=n-1; i>0; --i){double ans=0.0;for(int j=i+1; j<=n; ++j)ans+=1.0*a[i][j]*x[j];x[i] = (a[i][n+1] - ans)*1.0/a[i][i];}for(int i=1; i<=n; ++i)if(x[i] < 1e-5 && x[i] > -1e-5)printf("x%d = 0.0\n", i);elseprintf("x%d = %.1f\n", i, x[i]);
}void jie_b(int n)                //回代方程求出方程组的解；
{memset(x, 0, sizeof(x));x[n] = 1.0*b[n][n+1]/b[n][n];for(int i=n-1; i>0; --i){double ans=0.0;for(int j=i+1; j<=n; ++j)ans+=1.0*b[i][j]*x[j];x[i] = (b[i][n+1] - ans)*1.0/b[i][i];}for(int i=1; i<=n; ++i)if(x[i] < 1e-5 && x[i] > -1e-5)printf("x%d = 0.0\n", i);elseprintf("x%d = %.1f\n", i, x[i]);
}
int main()
{double a[MAXN][MAXN+1];cout << "请输入方程的阶数n：";int n;cin >> n;cout << "请输入n阶方程的增广矩阵：" << '\n';init(n);cout << "\n-------高斯消元后的结果为------" << '\n';int j = gaosi(n);if(j){print_b(n);cout << "----利用该矩阵回代后解出其解为----" << '\n';jie_b(n);}elsecout << "该方程组顺序消元后无解！" << '\n';cout << "\n-------列主消元后的结果为------" << '\n';int i = gaosi_liezhu(n);if(i){print_a(n);cout << "----利用该矩阵回代后解出其解为----" << '\n';jie_a(n);}elsecout << "该方程组列主消元后无解！" << '\n';return 0;
}

##### 样例检测：

方程组：
x1 - x2 - x3 = 2,
2 * x1 - x2 - 3 * x3 = 1,
3 * x1 + 2 * x2 - 5 * x3 = 0.

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