幸运地水了个国一，应该是对了3个结果填空，2+0.5+0.5个编程大题。
此次国赛共有十个题：
A~E 五个结果填空，F~J 五个编程大题。
目前并未找到标准答案，个人解法可能并不完全正确或最优，不对的还请指正！

A-平方序列：

小明想找到两个正整数X和Y，满足
1、2019<X<Y
2、2019²、X²、Y²构成等差数列
请你求出在所有可能的解中，X+Y的最小值是多少？

核心思想：

一重循环。
从2020开始遍历X的值，对于每一个X的值，利用等差数列的条件求出Y²的值，只需要判断开方得到的Y是不是整数即可。（可以将Y再次平方，看数值是否发生变化）

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{int t=2019*2019;for(int x=2020;;x++){int x2=x*x;int y2=2*x2-t;int y=sqrt(y2);if(y*y==y2){cout<<x+y<<endl;break;}}return 0;
}

答案：

B-质数拆分：

将2019拆分为若干个两两不同的质数之和，一共有多少种不同的方法？注意交换顺序视为同一种方法，例如2 + 2017 = 2019与2017 + 2 = 2019视为同一种方法。

核心思想：

先用欧拉线性筛法将素数筛出来，存在pre数组中。

dp[i][pre[j]]表示满足下列额外条件的分解方案数：
1、被分解数为i
2、分解出的素数最大值恰好为pre[j]
状态转移方程：
for(int k=0;k<j&&pre[k]<=i-pre[j];k++)
dp[i][pre[j]]+=dp[i-pre[j]][pre[k]];

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e4+20;
const int M=2019;
int pre[N],cnt;
bool vis[N];
ll dp[N][N];
void xss()
{for(int i=2;i<N-10;i++){if(!vis[i])pre[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt&&i*pre[j]<N-5;j++){vis[i*pre[j]]=1;if(i%pre[j]==0)break;}}return;
}
int main()
{xss();for(int i=0;pre[i]<=M;i++)dp[pre[i]][pre[i]]=1;for(int i=2;i<=M;i++){for(int j=0;pre[j]<=i;j++){for(int k=0;k<j&&pre[k]<=i-pre[j];k++)dp[i][pre[j]]+=dp[i-pre[j]][pre[k]];}}ll ans=0;for(int i=0;pre[i]<=M;i++)ans+=dp[M][pre[i]];cout<<ans<<endl;return 0;
}

答案：

55965365465060

C-拼接：

小明要把一根木头切成两段，然后拼接成一个直角。如下图所示，他把中间部分分成了nXn的小正方形，他标记了每个小正方形属于左边还是右边。然后沿两边的分界线将木头切断，将右边旋转向上后拼接在一起。
要求每个小正方形都正好属于左边或右边，而且同一边的必须是连通的。在拼接时，拼接的部位必须保持在原来大正方形里面。请问，对于7的小正方形，有多少种合法的划分小正方形的方式。

题解待更新……

D-求值：

学习了约数后，小明对于约数很好奇，他发现，给定一个正整数t，总是可以找到含有t个约数的整数。小明对于含有t个约数的最小数非常感兴趣，并把它定义为St。例如S1= 1,S2= 2,S3= 4,S4= 6，。现在小明想知道，当t= 100时，St是多少？即S100是多少？

核心思想：

两重for循环暴力。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{for(int i=1;;i++){int sum=0;for(int j=1;j<=i;j++){if(i%j==0)sum++;}if(sum==100){cout<<i<<endl;break;}}return 0;
}

答案：

E-路径计数：

有一个7X7的方格。方格左上角顶点坐标为(0,0)，右下角坐标为(7,7)。
求满足下列条件的路径条数：
1、起点和终点都是(0,0)
2、路径不自交
3、路径长度不大于12
4、对于每一个顶点，有上下左右四个方向可以走，但是不能越界。

核心思想：

dfs，根据路径长度不大于12来剪枝。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=25;
int ans;
bool vis[N][N];
int b[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
void dfs(int x,int y,int k)
{if(k>12)return;for(int i=0;i<4;i++){int tx=x+b[i][0];int ty=y+b[i][1];if(!tx&&!ty&&k+1>2&&k+1<=12)ans++;if(tx<0||tx>7||ty<0||ty>7)continue;if(vis[tx][ty])continue;vis[tx][ty]=1;dfs(tx,ty,k+1);vis[tx][ty]=0;}return;
}
int main()
{vis[0][0]=1;dfs(0,0,0);vis[0][0]=0;cout<<ans<<endl;return 0;
}

答案：

F-最优包含：

题目给定两个字符串S和T，保证S的长度不小于T的长度，问至少修改S的多少个字符，可以令T成为S的子序列。

输入描述：

两行。
第一行是字符串S，第二行是字符串T。
保证S的长度不小于T的长度，S的长度范围在10~1000之间。

输出描述：

答案，一个非负整数。

输入样例：

XBBBBBAC
ACC

输出样例：

核心思想：

动态规划。
dp[i][j]表示令T的前j个字符成为S的前i个字符的子序列需要修改的字符个数。
先初始化i=j和j=0的情况。
状态转移方程：
if(s[i]==t[j])
dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
else
dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+1);

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int dp[N][N];
string s,t;
int main()
{cin>>s>>t;int ls=s.size();int lt=t.size();if(s[0]!=t[0])dp[0][0]=1;for(int i=1;i<lt;i++)if(s[i]==t[i])dp[i][i]=dp[i-1][i-1];elsedp[i][i]=dp[i-1][i-1]+1;for(int i=1;i<ls;i++){if(s[i]==t[0])dp[i][0]=0;elsedp[i][0]=dp[i-1][0];}for(int j=1;j<lt;j++)for(int i=j+1;i<ls;i++)if(s[i]==t[j])dp[i][j]=dp[i-1][j-1];elsedp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+1);printf("%d\n",dp[ls-1][lt-1]);return 0;
}

G-排列数：

对于一个数列中的某个数，如果这个数比两侧的数都大或比两侧的数都小，我们称这个数为这个数列的一个转折点。
如果一个数列有t个转折点，我们称这个数列为t+1调数列。
给定两个正整数n,k。求在1~n的全排列中，有多少个数列是k调数列。

输入描述：

两个正整数n,k。

输出描述：

答案，一个整数。

输入样例：

4 2

输出样例：

核心思想：

利用全排列的递归函数，剪枝，水数据。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,k,ans,a[N];
void swap(int x,int y)
{int t=a[x];a[x]=a[y];a[y]=t;return;
}
bool pd(int x)//判断a[x]是不是转折点
{if(a[x]>a[x-1]&&a[x]>a[x+1]||a[x]<a[x-1]&&a[x]<a[x+1])return 1;return 0;
}
void dfs(int m,int sum)//m为递归层数，sum为已经有的转折点数量
{if(m>2&&pd(m-2))//判断a[m-2]是不是转折点 sum++;if(sum>k-1||sum+n-m<k-1)//转折点过多或者过少都剪枝 return;if(m==n-1)//全排列递归出口 {if(m>1&&pd(m-1))sum++;if(sum==k-1)ans++;return;}for(int i=m;i<n;i++)//全排列函数的函数主体 {swap(m,i);dfs(m+1,sum);swap(m,i);}return;
}
int main()
{cin>>n>>k;for(int i=0;i<n;i++)//初始化数组 a[i]=i+1;dfs(0,0);cout<<ans<<endl;return 0;
}

H-解谜游戏：

小明正在玩一款解谜游戏。谜题由24根塑料棒组成，其中黄色塑料棒4根，红色8根，绿色12根(后面用Y表示黄色、R表示红色、G表示绿色)。初始时这些塑料棒排成三圈，如上图所示，外圈12根，中圈8根，内圈4根。小明可以进行三种操作：

1.将三圈塑料棒都顺时针旋转一个单位。例如当前外圈从0点位置开始顺时针依次是YRYGRYGRGGGG，中圈是RGRGGRRY，内圈是GGGR。那么顺时针旋转一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：GYRYGRYGRGGG、YRGRGGRR和RGGG。

2.将三圈塑料棒都逆时针旋转一个单位。例如当前外圈从0点位置开始顺时针依次是YRYGRYGRGGGG，中圈是RGRGGRRY，内圈是GGGR。那么逆时针旋转一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：RYGRYGRGGGGY、GRGGRRYR和GGRG

3.将三圈0点位置的塑料棒做一个轮换。具体来说：外圈0点塑料棒移动到内圈0点，内圈0点移动到中圈0点，中圈0点移动到外圈0点。例如当前外圈从0点位置开始顺时针依次是YRYGRYGRGGGG，中圈是RGRGGRRY，内圈是GGGR。那么轮换一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：RRYGRYGRGGGG、GGRGGRRY和YGGR。小明的目标是把所有绿色移动到外圈、所有红色移动中圈、所有黄色移动到内圈。给定初始状态，请你判断小明是否可以达成目标。

输入描述：

第一行包含一个整数T，代表询问的组数。(1<T<100)。每组询问包含3行：第一行包含12个大写字母，代表外圈从0点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。第二行包含8个大写字母，代表中圈从0点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。第三行包含4个大写字母，代表内圈从0点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。

输出描述：

对于每组询问，输出一行YES或者NO，代表小明是否可以达成目标。

输入样例：

2
GYGGGGGGGGGG
RGRRRRRR
YRYY
YGGGRRRRGGGY
YGGGRRRR
YGGG

输出样例：

YES
NO

题解待更新……

I-第八大奇迹：

在一条R河流域，繁衍着一个古老的名族Z。他们世代沿河而居，也在河边发展出了璀璨的文明。
Z族在R河沿岸修建了很多建筑，最近，他们热衷攀比起来。他们总是在比谁的建筑建得最奇特。
幸好Z族人对奇特的理解都差不多，他们很快给每栋建筑都打了分，这样评选谁最奇特就轻而易举了。
于是，根据分值，大家很快评出了最奇特的建筑，称为大奇迹。
后来他们又陆续评选了第二奇特、第二奇特、…、第七奇特的建筑，依次称为第二大奇迹、第三大奇迹、…、第七大奇迹。
最近，他们开始评选第八奇特的建筑，准备命名为第八大奇迹。在评选中，他们遇到了一些问题。
首先，Z族一直在发展，有的建筑被拆除又建了新的建筑，新建筑的奇特值和原建筑不一样，这使得评选不那么容易了。
其次，Z族的每个人所生活的范围可能不一样，他们见过的建筑并不是所有的建筑，他们坚持他们自己所看到的第八奇特的建筑就是第八大奇迹。
Z族首领最近很头疼这个问题，他害怕因为意见不一致导致Z族发生分歧。他找到你，他想先了解一下，民众自己认为的奇迹是怎样的。
现在告诉在R河周边的建筑的变化情况，以及在变化过程中一些人的生活范围，请编程求出每个人认为的第八大奇迹的奇特值是多少

输入描述：

输入的第一行包含两个整数L,N，分别表示河流的长度和要你处理的信息的数量。开始时河流沿岸没有建筑，或者说所有的奇特值为0。接下来N行，每行一条你要处理的信息。
如果信息为C p x，表示流域中第p个位置(1<=p<=L)建立了一个建筑，其奇特值为x。如果这个位置原来有建筑，原来的建筑会被拆除。
如果信息为Q a b，表示有个人生活的范围是河流的第a到b个位置（包含a和b，a<=b），这时你要算出这个区间的第八大奇迹的奇特值，并输出。如果找不到第八大奇迹，输出0。

输出描述：

对于每个为Q的信息，你需要输出一个整数，表示区间中第八大奇迹的奇特值。

输入样例：

输出样例：

0
3
4

核心思想：

线段树+sort
线段树基础戳这里！

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+20;
int ans[17];//用于输出
char s[12];//用于读入字符C和Q
struct node{int l,r;int a[17];
}tr[N<<2];
bool pd(int x,int y)//sort排序依据
{if(x>y)return 1;return 0;
}
void pushup(int m)//线段树回溯函数
{for(int i=1;i<=8;i++)tr[m].a[i]=tr[m<<1].a[i];for(int i=9;i<=16;i++)tr[m].a[i]=tr[m<<1|1].a[i-8];sort(tr[m].a+1,tr[m].a+17,pd);//及时sort return;
}
void build(int m,int l,int r)//建立线段树
{tr[m].l=l;tr[m].r=r;if(l==r){memset(tr[m].a,0,sizeof(tr[m].a));return;}int mid=(l+r)>>1;build(m<<1,l,mid);build(m<<1|1,mid+1,r);pushup(m);return;
}
void update(int m,int x,int y)//更新数据
{if(tr[m].l==x&&tr[m].r==x){tr[m].a[1]=y;return;}int mid=(tr[m].l+tr[m].r)>>1;if(x<=mid)update(m<<1,x,y);elseupdate(m<<1|1,x,y);pushup(m);return;
}
void query(int m,int l,int r)//查询数据
{if(tr[m].l==l&&tr[m].r==r){for(int i=9;i<=16;i++)ans[i]=tr[m].a[i-8];sort(ans+1,ans+17,pd);//及时sort return;}int mid=(tr[m].l+tr[m].r)>>1;if(r<=mid)query(m<<1,l,r);else if(l>mid)query(m<<1|1,l,r);else{query(m<<1,l,mid);query(m<<1|1,mid+1,r);}return;
}
int main()
{int n,k,x,y;cin>>n>>k;build(1,1,n);for(int i=0;i<k;i++){scanf("%s%d%d",s,&x,&y);if(s[0]=='C'){update(1,x,y);}else{for(int j=1;j<=8;j++)ans[j]=0;query(1,x,y);printf("%d\n",ans[8]);}}return 0;
}

J-燃烧权杖：

小C最近迷上了一款游戏。现在，在游戏中，小C有一个英雄，生命值为x；敌人也有一个英雄，生命值为y。除此以外，还有k个士兵，生命值分别为a1、a2、…、ak。
现在小C打算使用一个叫做“燃烧权杖”的技能。“燃烧权杖”会每次等概率随机选择一个活着的角色（英雄或士兵），扣减其10点生命值，然后如果该角色的生命值小于或等于0，则该角色死亡，不会再被“燃烧权杖”选中。“燃烧权杖”会重复做上述操作，直至任意一名英雄死亡。
小C想知道使用“燃烧权杖”后敌方英雄死亡（即，小C的英雄存活）的概率。为了避免精度误差，你只需要输出答案模一个质数p的结果，具体见输出格式。

输入描述：

输入包含多组数据。输入第一行包含一个正整数T，表示数据组数。接下来T组，每组数据第一行包含四个非负整数x、y、p、k，分别表示小C的英雄的生命值、敌方英雄的生命值，模数和士兵个数。第二行包含k个正整数a1、a2、…、ak，分别表示每个士兵的生命值

输出描述：

对于每组数据，输出一行一个非负整数，表示答案模质数p的余数。可以证明，答案一定为有理数。设答案为a/b（a和b为互质的正整数），你输出的数为x，则你需要保证a与bx模p同余；也即，x= (a*b^-1)mod p，其中b^-1表示b模p的逆元，mod为取模运算。

题解待更新……

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答案：

B-质数拆分：

核心思想：

代码如下：

答案：

C-拼接：

D-求值：

核心思想：

代码如下：

答案：

E-路径计数：

核心思想：

代码如下：

答案：

F-最优包含：

输入描述：

输出描述：

输入样例：

输出样例：

核心思想：

代码如下：

G-排列数：

输入描述：

输出描述：

输入样例：

输出样例：

核心思想：

代码如下：

H-解谜游戏：

输入描述：

输出描述：

输入样例：

输出样例：

I-第八大奇迹：

输入描述：

输出描述：

输入样例：

输出样例：

核心思想：

代码如下：

J-燃烧权杖：

输入描述：

输出描述：

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