梁友栋-Barsky裁剪算法原理分析

梁友栋-Barsky算法是一种参数线裁剪算法。

$x={x_{0}}^{} +u\Delta x$

$y={y_{0}}^{} +u\Delta y$

为两个参数方程， $\Delta x$ 为两点的差值，其中 $0\leqslant u\leqslant 1$ 的由来是整理参数方程中三角函数的值得出，因为取值需要在裁剪框内，所以u只需要取0~1范围内的就足够。

$xw_{min}^{}\leqslant x={x_{0}}^{} +u\Delta x\leqslant xw_{max}^{}$

$yw_{min}^{}\leqslant y={y_{0}}^{} +u\Delta y\leqslant yw_{max}^{}$

是结合四条边界线得出的组合方程，在参数方程中，得到u的值就可以得出最终的解，所以在上面式子中其他的量都可以抽象化，就可以得出他的

$up_{k}^{}\leqslant q_{k}^{}$

在这里p和q都是抽象表示，由于不等式是与四条边界线结合得出，所以p和q的具体定义则为：

${p_{1}^{}}=-\Delta x ,q_{1}^{}=x_{0}^{}-xw_{min}^{}$

${p_{2}^{}}=\Delta x ,q_{2}^{}=xw_{max}^{}-x_{0}^{}$

${p_{3}^{}}=-\Delta y ,q_{3}^{}=y_{0}^{}-yw_{min}^{}$

${p_{4}^{}}=\Delta y ,q_{4}^{}=yw_{max}^{}-y_{0}^{}$

用x边界线举例说明，如果是左边界线，p的末端点大于初始点，p的值为负，如果与左边界线有交点，则一定为从外到内的线，右侧则为从内到外。全部验证可以得出算法中的结论

为了求参数u的值，取u的边界条件：

$up_{k}^{}= q_{k}^{}$

对于从外侧到内侧的线中，u需要取各个值中最大值或是0值，为什么这么取呢？

参数方程中t表示与定点的长度，u的本质与t相同，所以u相当于对于初始点的距离值，那么就容易得出，距离初始点最远的值应当是搭在了裁剪窗口边上。也就是u的最大值

从内到外则同理，所以取u的最小值。

有了u值之后，就可以在参数方程中求出交点坐标，可以取得裁剪线。

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