图论 ---- CF1495D .BFS Trees(图论最短路生成树+枚举计数+树的层次性)

题目大意

题目大意：

解题思路：

首先我们肯定先把任意两个点之间的最短路求出来→Floyed\rightarrow Floyed→Floyed最短路算法
现在我们假设只固定两个点x,yx,yx,y去求解答案。
首先我们发现的是xxx和yyy之间一定要是最短路，如果有多条最短路怎么办？
这肯定是不存在答案的！！因为这个路径最多有一条在树上面，但是对于另外的路径上面的点，肯定不满足最优了，因为你yyy要经过xxx，或者xxx要经过yyy去链接里面的点，肯定不是最短路了那么就是有多条最短路答案肯定是0
对于xxx和yyy路径上面的点肯定是只有一种选择了d[x][v]+d[v][y]=d[x][y]d[x][v]+d[v][y]=d[x][y]d[x][v]+d[v][y]=d[x][y]
假如不是xxx和yyy路径上面点怎么求解呢？
首先我一开始是这么想的d[x][v]=d[x][y]+d[y][v]ord[y][v]=d[y][x]+d[x][v]d[x][v]=d[x][y]+d[y][v]\;\text{or}\;d[y][v]=d[y][x]+d[x][v]d[x][v]=d[x][y]+d[y][v]ord[y][v]=d[y][x]+d[x][v]但是这个公式没有体现出路径出来？
一条路径是两个点确定的，那么我们就在引入一个额外的点v′v'v′
那么公式就变成d[x][v]=d[x][v′]+1&&d[y][v]=d[y][v′]+1d[x][v]=d[x][v']+1\&\&d[y][v]=d[y][v']+1d[x][v]=d[x][v′]+1&&d[y][v]=d[y][v′]+1
我们知道最短路径树是上每个点到xxx和yyy都是最短路，假如我们固定xxx为根的时候，每个点所在树的层次就会固定下来了

11. 不同的树是因为每一层之间的链接方式不一样
12. 我们看上面的枚举的v′v'v′和vvv刚好就是相邻两层之间的点。
13. 因为每次点之间都是独立去链接的，那么我们对于每个vvv我们可以枚举它周围的点看有多少个点v′v'v′满足上面的公式，假设是curvcur_vcurv。然后我们用乘法原理相乘就好了
14. ansx,y=∏curvans_{x,y}=\prod_{} cur_vansx,y=∏curv

AC code

O(n2∗m)O(n^2*m)O(n2∗m)

#include <bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 998244353;
const int maxn = 500010;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x) {x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args) {read(first);read(args...);
}
vector<int> G[500];
int d[500][500], ans[500][500];
int n, m;
inline void init() {for(int i = 1; i <= n; ++ i) d[i][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; ++ i)for(int j = 1; j <= n; ++ j)for(int k = 1; k <= n; ++ k)d[j][k] = min(d[j][k],d[j][i]+d[i][k]);
}
int main() {IOS;ms(d,INF);cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++ i) {int u, v;cin >> u >> v;G[u].push_back(v);G[v].push_back(u);d[u][v] = d[v][u] = 1;}init();for(int i = 1; i <= n; ++ i)for(int j = i; j <= n; ++ j) {bool ok = true;vector<int>pos(d[i][j] + 1,-1);for(int k = 1;k <= n;k++) {if(d[i][k] + d[k][j] == d[i][j]) {if(pos[d[i][k]] != -1) {ok = false;break;}pos[d[i][k]] = k;}}if(!ok) continue;int cur = 1;for(int k = 1;k <= n;k++) {if(d[i][k] + d[k][j] > d[i][j]) {int cnt = 0; //代表bfs tree中能到点k的边数for(int e = 0;e < G[k].size();e++) {int v = G[k][e];if(d[i][v] + 1 == d[i][k] && d[j][v] + 1 == d[j][k]) cnt++;}cur = 1ll * cur * cnt % mod;}}ans[i][j] = ans[j][i] = cur;}   for(int i = 1;i <= n;i++) {for(int j = 1;j <= n;j++) {printf("%d ",ans[i][j]);}printf("\n");}return 0;
}

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