# 原码、反码、补码和移码详解 # 原码、反码、补码和移码的“由来”

一、原码、反码、补码和移码的一般求法

码制	一般求法
原码	符号位用0表示正数，1表示负数，其余位不变。
反码	正数的反码与原码一样，负数的反码是对它的原码（除符号位外）各位取反。
补码	正数的补码与原码一样，负数的补码是其反码尾部加1。
移码	不管正负数，将其补码的符号位取反即可。

二、移码的“真正”求法

移码：移码表示法是在数X上增加一个偏移量来定义的，通常用于表示浮点数的阶码。

如果机器字长为n，规定偏移量为2^n-1，则移码定义如下：

X 为纯整数：[X]_移=2^n-1+X（-2^n-1≤X＜2^n-1）

X 为纯小数：[X]_移=1+X（-1≤X＜1）

【举个栗子】

[+1]_移=2^8-1+1=129=1 000 0001

[-1]_移=2^8-1 -1=127=0 111 1111

[+127]_移=2^8-1+127=255=1 111 1111

[-127]_移=2^8-1 -127=1=0 000 0001

[+45]_移=2^8-1+45=173=1 010 1101

[-45]_移=2^8-1 -45=83=0 101 0011

[+0.5]_移=1+0.5=1.5=1 100 0000

[-0.5]_移=1-0.5=0.5=0 100 0000

[+0]_移=[-0]_移=1 000 0000

三、原码、反码、补码和移码的“由来”

1. 原码

原码：符号位用0表示正数，1表示负数，其余位不变。

对于计算机，加减乘除是最基础的运算，要设计的尽量简单。

计算机辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！于是科学家想出了将符号位也参与运算的方法。

我们知道，根据运算法则，减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1=1+(-1)=0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。

在运算中，原码进行加法运算是没有问题的，但是在减法运算中会出问题，如：（D表示十进制）

1D-1D

=1D+(-1)D

=[0 000 0001]_原+[1 000 0001]_原

=[1 000 0010]_原

=-2D

这个结果明显是错误的！

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数的原因。

所以为了解决原码做减法的问题，出现了反码。

2. 反码

反码：正数的反码与原码一样，负数的反码是对它的原码（除符号位外）各位取反。

【举个栗子】

使用反码计算 1-1 过程如下：

1D-1D

= 1D+(-1)D

= [0 000 0001]_原+[1 000 0001]_原

=[0 000 0001]_反+[1 111 1110]_反

=[1 111 1111]_反

=[1 000 0000]_原

= - 0D

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。

而唯一的问题其实就出现在“0”这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0 和-0 是一样的，但在这里 0 带符号是没有任何意义的，而且会有[0 0000000]原和[1 0000000]原两个编码表示 0。 于是补码出现了，解决了 0 的符号和 0 的两个编码问题，以及原码和补码进行减法运算时出现的问题。

3. 补码

补码：正数的补码与原码一样，负数的补码是其反码尾部加1。

使用补码计算 1-1 过程如下：

1D-1D

=1D+(-1)D

=[0 000 0001]_原+[1 000 0001]_原

=[0 000 0001]_补+[1 111 1111]_补

=[0 000 0000]_反

=[0 000 0000]_原

=0D

这样 0 用 0 000 0000 表示，而以前出现问题的-0 则不存在了，且在补码中 0 也只有一种唯一的表示形式。

假设机器字长为 8 位，使用补码则可以用[1 000 0000]_补表示-128D；

(-1)D+(-127)D

=[1 000 0001]_原+[1 111 1111]_原

=[1 111 1111]_补+[1 000 0001]_补

=[1 000 0000]_补

最终运算结果应为 [1 1000 0000]_补，但由于机器字长为 8 位，最左边的“1”被丢掉了，故只剩下[1 000 0000]_补。 -1-127 的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1 000 0000]_补就是-128。

但是注意因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128，所以-128 并没有原码和反码表示（对-128 的补码表示[1 000 0000]_补算出来的原码是[0 000 0000]_原，这是不正确的)。

使用补码，不仅仅修复了 0 的符号以及 0 的两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么 8 位二进制使用原码或反码表示的范围为[-127，+127]，而使用补码表示的范围为[-128，127]的原因。

因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型，可以表示范围是（最高位是符号位）：[-2³¹，2³¹-1]，使用补码表示时可以多保存一个最小值 - 2³¹。

假设机器字长为 n 位，则使用补码表示的最小的一个数是 -2^n-1。

4. 移码

移码：不管正负数，将其补码的符号位取反即可。

常用来比较大小，一般会把浮点数的阶码用移码表示。当把数值用移码表示出来可一眼看出它们的大小，这样很容易判断阶码的大小，移码可用于简化浮点数的乘除法运算。

四、原码、反码、补码和移码的取值范围

码制	定点整数	定点小数
原码	-(2^n-1-1) ~ +(2^n-1-1)	-(1-2^-(n-1)) ~ +(1-2^-(n-1))
反码	-(2^n-1-1) ~ +(2^n-1-1)	-(1-2^-(n-1)) ~ +(1-2^-(n-1))
补码	-2^n-1 ~ +(2^n-1-1)	-1 ~ +(1-2^-(n-1))
移码	-2^n-1 ~ +(2^n-1-1)	-1 ~ +(1-2^-(n-1))

【定点小数的取值范围的推算】

以补码为例：一个数用 n 位存储，用掉一个符号位后，还有 (n-1) 位，如果小数点在最右边，此时表示的是整数，可表示 -2^n-1 ~ +(2^n-1-1) 范围的数，把小数点左移 n-1 位，相当于除以 2^(n-1) ，结果为：

-1 ~ +(1-2^-(n-1))

同理可以将其他码制的范围求出来。

【总结】

总之，反码用来解决负数加法运算问题，将减法运算转换为加法运算，从而简化运算规则；

补码解决负数加法运算正负零问题，弥补了反码的不足。

反码与补码都是为了解决负数运算问题，跟正数没关系，因此，不管是正整数还是正小数，原码，反码，补码都全部相同。

将补码符号位取反即得到相应的移码。