【组合数学】组合恒等式 ( 八个组合恒等式回顾 | 组合恒等式 积 1 | 证明 | 使用场景 | 求组合数通用方法 )
文章目录
- 一、组合恒等式回顾 ( 8个 )
- 二、组合恒等式 ( 积 )
- 三、组合恒等式 ( 积 ) 证明
- 四、组合恒等式 ( 积 ) 用途 、求组合数通用方法
组合恒等式参考博客 :
- 【组合数学】组合恒等式 ( 递推 组合恒等式 | 变下项求和 组合恒等式 简单和 | 变下项求和 组合恒等式 交错和 )
- 【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导 证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )
一、组合恒等式回顾 ( 8个 )
1 . 组合恒等式 ( 递推式 ) :
( 1 ) 递推式 1 : (nk)=(nn−k)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}(kn)=(n−kn)
( 2 ) 递推式 2 : (nk)=nk(n−1k−1)\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1}(kn)=kn(k−1n−1)
( 3 ) 递推式 3 ( 帕斯卡 / 杨辉三角公式 ) : (nk)=(n−1k)+(n−1k−1)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1}(kn)=(kn−1)+(k−1n−1)
2 . 回顾四个变下项求和的组合恒等式 : 之前介绍的组合恒等式 中的组合数 (nk)\dbinom{n}{k}(kn) , 是下项 kkk 一直在累加改变 , 具有 ∑k=0n\sum\limits_{k=0}^{n}k=0∑n 累加性质 , 上项 nnn 是不变的 ;
( 1 ) 简单和 : ∑k=0n(nk)=2n\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^nk=0∑n(kn)=2n
( 2 ) 交错和 : ∑k=0n(−1)k(nk)=0\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \dbinom{n}{k} = 0k=0∑n(−1)k(kn)=0
( 3 ) 变下项求和 3 : ∑k=0nk(nk)=n2n−1\sum\limits_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1}k=0∑nk(kn)=n2n−1
( 4 ) 变下项求和 4 : ∑k=0nk2(nk)=n(n+1)2n−2\sum_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = n ( n+1 ) 2^{n-2}∑k=0nk2(kn)=n(n+1)2n−2
3 . 变上项求和 : ∑l=0n(lk)=(n+1k+1)\sum\limits_{l=0}^{n} \dbinom{l}{k} = \dbinom{n + 1}{k + 1}l=0∑n(kl)=(k+1n+1)
二、组合恒等式 ( 积 )
组合恒等式 ( 积 ) :
(nr)(rk)=(nk)(n−kr−k)\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} = \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k}(rn)(kr)=(kn)(r−kn−k)
三、组合恒等式 ( 积 ) 证明
1 . (nr)(rk)\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k}(rn)(kr) 组合数解析 : 这是两个组合数的乘法 , 使用的是 分步计数原理 , 对应乘法法则 ;
( 1 ) 第一步 : (nr)\dbinom{n}{r}(rn) 从 nnn 个元素中选择 rrr 个元素 ;
( 2 ) 第二步 : (rk)\dbinom{r}{k}(kr) 从 rrr 个元素中选择 kkk 个元素 ;
2 . 上述选择可能会存在重复的情况 , 以下反例可以证明 :
集合 S={a,b,c,d,e}S = \{ a, b, c, d, e \}S={a,b,c,d,e} , 从该集合 SSS 中选择 444 个元素 , 举两个栗子 :
① {a,b,c,d}\{a, b, c, d\}{a,b,c,d} , 有子集 {b,c,d}\{ b,c,d \}{b,c,d}
② {b,c,d,e}\{ b,c,d,e \}{b,c,d,e} , 有子集 {b,c,d}\{ b,c,d \}{b,c,d}
这样从 555 个元素中选择 444 个 , 然后从 444 个元素中选择 333 个 , 最后 出现了选择重复子集的情况 , 有两个重复的 {b,c,d}\{ b,c,d \}{b,c,d} ;
3 . (nk)(n−kr−k)\dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k}(kn)(r−kn−k) 组合数解析 :
(nk)\dbinom{n }{k}(kn) 表示 从 nnn 个元素中 , 直接选出 kkk 个元素出来 , 查看有多少种方法 ; 栗子 : 上述 555 元集中直接选择 333 元素子集的个数 ;
(n−kr−k)\dbinom{n-k}{r-k}(r−kn−k) 是 上述选择方法的重复度 , 每个选择方法会出现多少次 ; 栗子 : 计算上述每个 333 元素子集选择方案的重复次数 ;
4 . 下面开始研究上述 (n−kr−k)\dbinom{n-k}{r-k}(r−kn−k) 重复度是如何计算出来的
以上面的栗子为例 , 333 子集 {b,c,d}\{ b,c,d \}{b,c,d} 出现两次的原因是 ,
在 444 子集 {a,b,c,d}\{a, b, c, d\}{a,b,c,d} 和 {b,c,d,e}\{ b,c,d,e \}{b,c,d,e} 都包含同样的 333 子集 {b,c,d}\{ b,c,d \}{b,c,d} ,
在上述 444 子集中 , 除了 333 子集之外 , 有其它的添加元素 ,
- 在 {a,b,c,d}\{a, b, c, d\}{a,b,c,d} 中 , 添加了 aaa 元素
- 在 {b,c,d,e}\{b,c,d,e\}{b,c,d,e} 中 , 添加了 eee 元素
在 333 子集中 , 添加不同的元素 , 就可以变成 不同的 444 子集 , 这里直接求该 333 子集有多少种添加方法 , 构成 444 子集的个数 ;
添加的元素是从 原有 S={a,b,c,d,e}S = \{ a, b, c, d, e \}S={a,b,c,d,e} 集合中 , 除掉 {b,c,d}\{ b,c,d \}{b,c,d} 333 子集后的元素中选取的 ,
选取集合有 5−3=25-3 = 25−3=2 个元素 ( 相当于公式 n−kn-kn−k ) ,
选取的个数就是 4−3=14-3=14−3=1 个 ( 相当于公式 r−kr-kr−k ) ;
从 n−kn-kn−k 个元素中选择 r−kr-kr−k 个元素 , 方案数为 (n−kr−k)\dbinom{n-k}{r-k}(r−kn−k) ;
5 . (nr)(rk)=(nk)(n−kr−k)\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} = \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k}(rn)(kr)=(kn)(r−kn−k) 的左右两边都是对同一个组合数的计数结果 , 因此是相等的
四、组合恒等式 ( 积 ) 用途 、求组合数通用方法
组合恒等式 ( 积 ) :
(nr)(rk)=(nk)(n−kr−k)\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} = \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k}(rn)(kr)=(kn)(r−kn−k)
遇到 (nr)(rk)\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k}(rn)(kr) 先乘积 , 再求和的情况 , 如果求和是对 rrr 求和的话 , 即 ∑r=0n\sum\limits_{r=0}^{n}r=0∑n , 如下 :
对 ∑r=kn(nr)(rk)\sum\limits_{r=k}^{n}\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k}r=k∑n(rn)(kr) 求和 ;
对 rrr 求和 , rrr 是从 kkk 一直到 nnn ,
前面的项 (nr)\dbinom{n}{r}(rn) 下项是变量 ,
后面的项 (rk)\dbinom{r}{k}(kr) 上项是变量 ,
之前的通用方法 : 这就无法使用之前的计算方法了 , 之前的计算方法是 , 常量向 ∑\sum∑ 符号外面提取 , 剩下的转变成 基本求和式 ∑k=0n(nk)=2n\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^nk=0∑n(kn)=2n , 或已知的 组合恒等式 , 组合公式 , 进行化简 ;
处理的情况 : 两个组合数 , 一个是下项是累加变量 , 一个是上项是累加变量 , 两个组合数相乘 的情况 ;
上述 积组合恒等式可以将上述情况改变成 下项 是累加变量的情况 ;
这里使用上述 积组合恒等式 , 转变为 :
∑r=kn(nr)(rk)=∑r=kn(nk)(n−kr−k)\sum\limits_{r=k}^{n}\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} = \sum\limits_{r=k}^{n} \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k}r=k∑n(rn)(kr)=r=k∑n(kn)(r−kn−k)
得到上述公式后 , 分析得到的项 ∑r=kn(nk)(n−kr−k)\sum\limits_{r=k}^{n} \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k}r=k∑n(kn)(r−kn−k) ,
前面的 (nk)\dbinom{n }{k}(kn) 项与 求和变量 rrr 无关 ,
后面的 (n−kr−k)\dbinom{n-k}{r-k}(r−kn−k) 下项与 求和变量 rrr 相关 ;
因此 (nk)\dbinom{n }{k}(kn) 项 可以提取到 ∑\sum∑ 符号外面 ;
=(nk)∑r=kn(n−kr−k)=\dbinom{n }{k} \sum\limits_{r=k}^{n} \dbinom{n-k}{r-k}=(kn)r=k∑n(r−kn−k)
上述式子就可以进行 变限 , 代换计算了 ; 使用 r′=r−kr' = r-kr′=r−k 替换 rrr ;
原来 rrr 的取值范围是 kkk ~ nnn , 则 r′=r−kr' = r-kr′=r−k 的取值范围是 000 ~ n−kn-kn−k , 代换结果如下 :
=(nk)∑r′=0n−k(n−kr′)=\dbinom{n }{k} \sum\limits_{r'=0}^{n - k} \dbinom{n-k}{r'}=(kn)r′=0∑n−k(r′n−k)
根据 基本求和式 ∑k=0n(nk)=2n\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^nk=0∑n(kn)=2n , 计算 ∑r′=0n−k(n−kr′)\sum\limits_{r'=0}^{n - k} \dbinom{n-k}{r'}r′=0∑n−k(r′n−k) 的结果为 2n−k2^{n-k}2n−k ; 最终的计算结果为 :
=(nk)∑r′=0n−k(n−kr′)=2n−k(nk)=\dbinom{n }{k} \sum\limits_{r'=0}^{n - k} \dbinom{n-k}{r'} = 2 ^{n-k}\dbinom{n }{k}=(kn)r′=0∑n−k(r′n−k)=2n−k(kn)
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