主成分分析法原理与MATLAB实现

1：主成分分析原理：

主成分分析法是利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标（即主成分），其中每个主成分都能够反映原始变量的大部分信息，且所含信息互不重复。这种方法在引进多方面变量的同时将复杂因素归结为几个主成分，使问题简单化，同时得到的结果更加科学有效的数据信息。例如，做一件上衣需要测量很多尺寸，如身高，袖长，腰围，胸围，肩宽等十几项指标，但是厂家不可能把尺寸型号分这么多，而是从这十几种指标中综合成几个少数的综合指标作为分类型号，例如综合成反映身高，反映胖瘦和反应特体的三项指标，这就是主成分的思想。主要的方法有特征值分解，SVD(奇异值分解)和NMF(非负矩阵分解)；

2：步骤：

参考：http://wiki.mbalib.com/wiki/%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90%E6%B3%95

第一步采用的是中心化标准化，即元素值减去均值除以标准差，得到的结果服从标准正态分布；

3：matlab代码实现：

x=[1.2,3,-1.1,17;1.5,5,-3,22;1.3,4.0,-2,19;0.7,3,-2.3,111,4,-1.2,20.8];
stdr=std(x);                %求各变量的标准差；
[n,m]=size(x);               %矩阵的行与列
sddata=x./stdr(ones(n,1),:);         %标准化变换
[p,princ,egenvalue]=princomp(sddata);  %调用主成分
p=p(:,1:3);                          %输出前3主成分系数；
sc=princ(:,1:3);                       %前3主成分量；
egenvalue;                              %相关系数矩阵的特征值，即各主成分所占比例；
per=100*egenvalue/sum(egenvalue);       %各个主成分所占百分比；

运行结果：

前3主成分系数：

特征值矩阵：

百分比：

所以前3主成分就是：z1=0.5403x1+0.5792x2-0.2966x3+0.5334x4; z2=0.1824x1-0.1325x2+0.8686x3+0.4419x4; z3=0.802x1-0.4998x2-0.0838x3-0.3162x4;

上述数据就可以按照这前3主成分进行描述了。

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