乘幂法求矩阵的特征值及特征向量

设A\textbf{A}是nn阶矩阵，如果数λ\lambda和nn维非零列向量x\textbf{x}使关系式：

Ax=λx,

\textbf{A}\textbf{x}=\lambda\textbf{x},
成立，则称数 λ\lambda为方阵 A\textbf{A}的特征值，非零向量 x\textbf{x}称为 A\textbf{A}的对应于特征值 λ\lambda的特征向量。

特征值问题是对方阵而言的，对应的特征向量x≠0\textbf{x}\neq 0；nn阶方阵A\textbf{A}的特征值，就是使其次线性方程组(A−λI)x=0(\textbf{A}- λ\textbf{I})\textbf{x}=0有非零解的λ\lambda值，即满足方程|A−λI|=0|\textbf{A}- λ\textbf{I}|=0的λ\lambda都是矩阵A\textbf{A}的特征值。

|A−λI|=0⇔∣∣∣∣∣∣∣a11−λa21⋮an1a12a22−λ⋮an2……⋮…a1na2n⋮ann−λ∣∣∣∣∣∣∣=0.

|\textbf{A}- λ\textbf{I}|=0 \Leftrightarrow \left |\begin{matrix}a_{11}-\lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22}-\lambda & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}-\lambda \end{matrix}\right |=0.

一般计算方法是第一步先求解特征值λ\lambda：求A\textbf{A}的特征值λ\lambda就是求|A−λI|=0|\textbf{A}- \lambda\textbf{I}|=0的根；接下来再求解特征向量x\textbf{x}：求A\textbf{A}的相应于λ\lambda的特征向量就是求(A−λI)x=0(\textbf{A}- \lambda\textbf{I})\textbf{x}=0的非零解向量。求矩阵A\textbf{A}的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题。

不过在nn非常大时，直接求解特征值及其对应的特征向量开销会很大，因此可以用乘幂法解其数值。假定nn阶矩阵A\textbf{A}对应的nn个特征值按模从大到小的排序为：

|λ1|>|λ2|>|λ3|…>|λn|,

|\lambda_1|> |\lambda_2|> |\lambda_3| \ldots > |\lambda_n|,
又假设关于λ1\lambda_1、λ2\lambda_2、…\ldots、λn\lambda_n的特征向量v1\textbf{v}_1、v2\textbf{v}_2、…\ldots、vn\textbf{v}_n线性无关。

任取初始向量x0=α1v1+α2v2+α3v3+…+αnvn,(αi≠0)\textbf{x}_0=\alpha_1\textbf{v}_1+\alpha_2\textbf{v}_2+\alpha_3\textbf{v}_3+\ldots+\alpha_n\textbf{v}_n,(\alpha_i \neq 0)，建立迭代公式：xk+1=Axk\textbf{x}_{k+1}=\textbf{A}\textbf{x}_k.

x1=Ax0=α1Av1+α2Av2+α3Av3+…+αnAvn=α1λ1v1+α2λ2v2+α3λ3v3+…+αnλnvn

\begin{align*}\textbf{x}_1=\textbf{A}\textbf{x}_0&=\alpha_1\textbf{A}\textbf{v}_1+\alpha_2\textbf{A}\textbf{v}_2+\alpha_3\textbf{A}\textbf{v}_3+\ldots+\alpha_n\textbf{A}\textbf{v}_n \\ &=\alpha_1\lambda_1\textbf{v}_1+\alpha_2\lambda_2\textbf{v}_2+\alpha_3\lambda_3\textbf{v}_3+\ldots+\alpha_n\lambda_n\textbf{v}_n\end{align*}

x2=Ax1=α1λ1Av1+α2λ2Av2+α3λ3Av3+…+αnλnAvn=α1λ21v1+α2λ22v2+α3λ23v3+…+αnλ2nvn

\begin{align*}\textbf{x}_2=\textbf{A}\textbf{x}_1&=\alpha_1\lambda_1\textbf{A}\textbf{v}_1+\alpha_2\lambda_2\textbf{A}\textbf{v}_2+\alpha_3\lambda_3\textbf{A}\textbf{v}_3+\ldots+\alpha_n\lambda_n\textbf{A}\textbf{v}_n \\ &=\alpha_1\lambda^2_1\textbf{v}_1+\alpha_2\lambda^2_2\textbf{v}_2+\alpha_3\lambda^2_3\textbf{v}_3+\ldots+\alpha_n\lambda^2_n\textbf{v}_n\end{align*}
……………………

xk=Axk−1=α1λk1v1+α2λk2v2+α3λk3v3+…+αnλknvn=λk1[α1v1+α2(λ2λ1)kv2+α3(λ3λ1)kv3+…+αn(λnλ1)kvn].

\begin{align*}\textbf{x}_{k}=\textbf{A}\textbf{x}_{k-1}&=\alpha_1\lambda^{k}_1\textbf{v}_1+\alpha_2\lambda^{k}_2\textbf{v}_2+\alpha_3\lambda^{k}_3\textbf{v}_3+\ldots+\alpha_n\lambda^{k}_n\textbf{v}_n\\ &=\lambda^{k}_1[\alpha_1\textbf{v}_1+\alpha_2(\frac{\lambda_2}{\lambda_1})^{k}\textbf{v}_2+\alpha_3(\frac{\lambda_3}{\lambda_1})^{k}\textbf{v}_3+\ldots+\alpha_n(\frac{\lambda_n}{\lambda_1})^{k}\textbf{v}_n]\end{align*}.
因为 |λiλ1|<1,i=2,…,n|\frac{\lambda_i}{\lambda_1}|，故当 k→∞k \to \infty， xk→α1λk1v1\textbf{x}_{k} \to \alpha_1\lambda^{k}_1\textbf{v}_1。因此 xk\textbf{x}_{k}可看成是关于特征值 λ1\lambda_1的近似特征向量，不过有个缺点就是当 |λ1|>1|\lambda_1|>1（或 |λ1|<1|\lambda_1|）， xk\textbf{x}_{k}中不为0的分量将随 kk的增大而无线增大，计算机就有可能出现上溢（或下溢）。所以在实际计算时，需按规范法计算，每步先对向量xk\textbf{x}_{k}进行规范化：

zk=xk||xk||∞,xk+1=Azk.

\textbf{z}_k=\frac{\textbf{x}_k}{||\textbf{x}_k||_{\infty}},\textbf{x}_{k+1}=\textbf{A}\textbf{z}_k.

通过上面的分析，可将乘幂法求矩阵的特征值及特征向量的方法可归纳如下：

计算特征值λi,i=1,2,3,…,n\lambda_i,i=1,2,3,\ldots,n，任选一个向量x0\textbf{x}_0，递归xk=Azk−1\textbf{x}_k=\textbf{A}\textbf{z}_{k-1}；
当kk充分大时或误差 Frobenius Norm ||xk−xk−1||||\textbf{x}_k -\textbf{x}_{k-1}||足够小时，停止；
zk\textbf{z}_k就是当前A\textbf{A}的主特征向量，对应的特征值为：

λi=maxxk（xk中的最大分量）;

\lambda_i=\max \textbf{x}_{k}（\textbf{x}_{k}中的最大分量）;
在A\textbf{A}中去掉主特征λi\lambda_i对应向量的因素

A=A−λizkzTk,

\textbf{A}=\textbf{A}-\lambda_i \textbf{z}_k\textbf{z}^{T}_k,接下来再找下一个特征对，然后类似计算。

针对特征值相等的情况，假定|λ1|=|λ2|=…=|λm|>|λm+1|>…>|λn||\lambda_1|= |\lambda_2|=\ldots =|\lambda_m|> |\lambda_{m+1}|> \ldots > |\lambda_n|，由于向量α1v1+α2v2+α3v3+…+αmvm\alpha_1\textbf{v}_1+\alpha_2\textbf{v}_2+\alpha_3\textbf{v}_3+\ldots+\alpha_m\textbf{v}_m仍是属于λ1\lambda_1的特征向量，故利用上述方法依旧可求解λ1，λm+1,…,λi\lambda_1，\lambda_{m+1},\ldots,\lambda_{i}特征值及其对应的特征向量。

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