有关堆栈和Catalan数的思考

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形如这样的直角三角形网格，从左上角开始，只能向右走和向下走，问总共有多少种走法？

问题的由来：编号为 1 到 n 的 n 个元素，顺序的进入一个栈，则可能的出栈序列有多少种？

对问题的转化与思考：n 个元素进栈和出栈，总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。

一 个模型：一个 n*n 的正方形网格，从左上角顶点到右下角顶点，只能向右走和向下走。问共有多少种走法。如果将向右走对应上述问题的进栈，向下走对应上述问题的出栈，那么，可 以视此模型为对上述问题的具体描述。而解决此问题，只要在总共从左上角到右下角的2n步中，选定向右走的步数，即共有C(n 2n)中走法。

但是存在一个问题，如果走法越过了对角线，那么对应到上述问题是出栈数比入栈数多，这是不符合实际的。

对以上模型进行处理，对角线将以上正方形网格分成两部分，只留下包含对角线在内的下半部分，那么就不会出现越过对角线的问题。而这问题就是开始提出的问题。
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问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？
解答： 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）
不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。
不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。

不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个的累计数，和m个1的累计数。
此 后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分2（n－m）－1位，0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得 1个由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个0和n＋1个1组成的一个排列。

反过来，任何一个 由n＋1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0 和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。

用上述方法建立了由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。

例如 10100101

是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位（显示为红色）出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于由3个1，5个0组成的10100010。

反过来 10100010

对应于 10100101

因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应，故有

P2n ＝ C（n 2n）— C（n＋1 2n）

这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan，在组合数学中有介绍，可以参阅有关资料。

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是否可以用一种更合乎思维习惯的方式解决这个问题呢
可以把这个问题描述为一个二元组，(n, 0) 表示有n个元素等待进栈, 0 个元素已进栈, 这相当于问题最初的状况. 接着问题转化为(n-1,1). 可以这么说(n,0) = (n-1,1). 而对于(n-1,1)则相当于(n-1,0)+(n-2,2).
(n-1,0)表示栈中的一个元素出栈, (n-2, 2)表示又有一个元素入栈.
把问题一般话,则(n,m)的排列问题可以转化为(n,m-1)+(n-1,m+1) 此时m>=1, 因为必须栈中有元素才可以出栈.当m=0则(n,0)的问题只能转化为(n-1,1). 当问题为(0, m)时得到递归边界,这个问题的解是只有一种排列.

程序如下:

#include <stdio.h>

#define ELEMNUM 6;

int getPermuStack(int n, int m)
{
if(n == 0)//递归边界
return 1;
if(m == 0)//(n,0)问题的处理
return getPermuStack(n-1, 1);
return getPermuStack(n, m-1) + getPermuStack(n-1, m+1);
}

int main()
{
printf("The total count of stackout permutation is %d.", getPermuStack(6, 0));
return 0;
}

运行结果:
The total count of stackout permutation is 132.

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上面方法是可行的，但在实际编程中最好不要用递归，这样如果递归次数一多就容易造成栈溢出。你可以试下用较大的参数来调用你的函数，会造成runtime error的。
而 且纯粹的递归会造成大量的重复计算：比如，你在计算getPermuStack(5, 5)的时候计算了getPermuStack(5, 4)，然后在计算getPermuStack(5,3)的时候又计算了一遍。当然可以通过动态规划的思想设置一个二维数组来记录计算结果，可是太消耗空 间。
如果直观的方法就能很高效地解决问题的话，就不会有那么多人去从数学上求解了。

递归的致命缺点,也是优点就是把复杂的计算留给机器, 递归往往能迅速简洁的思维求出问题的解, 也许得到的算法是低效的.所以递归应该是一种懒人算法. 而"从数学上求解"应当是指从正向考虑问题的解, 递归是逆向求解.