陶哲轩实分析 3.1节 习题试解
陶哲轩实分析 3.1节 习题试解
3.1.1 证明集合相等的定义是自反、对称和传递的。
（1） 先证明自反性 A=AA = A
∀x∈A,x∈A\forall x \in A , x \in A 所以 A=AA = A
（2）对称性 若A=BA = B 则 B=AB= A
因为A=BA=B ，所以
\forall x \in A , x \in B \\ \forall x \in B , x \in A
所以 B=AB = A
（3）传递性 A=B,B=CA = B, B = C 则 A=CA = C
因为A=BA=B ，所以
\forall x \in A , x \in B
因为B=CB=C ，所以
\forall x \in B , x \in C
所以
\forall x \in A , x \in C
同理
\forall x \in C , x \in A
所以 A=CA = C
3.1.2 仅使用定义3.1.4 、定理 3.2、定理3.3 证明 ∅,{∅},{{∅}}\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\} 以及 {∅,{∅}}\{\emptyset,\{\emptyset\}\} 全是不同的
(1) 先证明∅\emptyset 与其他几个集合不同
∅∈{∅}\emptyset \in \{\emptyset\} 但是 ∅∉∅\emptyset \notin \emptyset 所以 ∅≠{∅}\emptyset \neq \{\emptyset\}
{∅}∈{{∅}}\{\emptyset\} \in \{\{\emptyset\}\} 但是 {∅}∉∅\{\emptyset\} \notin \emptyset 所以 ∅≠{{∅}}\emptyset \neq \{\{\emptyset\}\}
{∅}∈{∅,{∅}}\{\emptyset\} \in \{\emptyset,\{\emptyset\}\} 但是 {∅}∉∅\{\emptyset\} \notin \emptyset 所以 ∅≠{∅,{∅}}\emptyset \neq \{\emptyset,\{\emptyset\}\}
(2) 证明 {∅}\{\emptyset\} 与 {{∅}}\{\{\emptyset\}\} 以及 {∅,{∅}}\{\emptyset,\{\emptyset\}\} 不同
{∅}∈{{∅}}\{\emptyset\} \in \{\{\emptyset\}\} 但是 {∅}∉{∅}\{\emptyset\} \notin \{\emptyset\} 所以 {∅}≠{{∅}}\{\emptyset\} \neq \{\{\emptyset\}\}
{∅}∈{∅,{∅}}\{\emptyset\} \in \{\emptyset,\{\emptyset\}\} 但是 {∅}∉{∅}\{\emptyset\} \notin \{\emptyset\} 所以 {∅}≠{∅,{∅}}\{\emptyset\} \neq \{\emptyset,\{\emptyset\}\}
(3) 证明{{∅}}≠{∅,{∅}}\{\{\emptyset\}\} \neq \{\emptyset,\{\emptyset\}\}
∅∈{∅,{∅}}\emptyset \in \{\emptyset,\{\emptyset\}\} 但是 ∅∉{{∅}}\emptyset \notin \{\{\emptyset\}\} 所以 {{∅}}≠{∅,{∅}}\{\{\emptyset\}\} \neq \{\emptyset,\{\emptyset\}\}
3.1.3 证明引理 3.1.13 中未证明的结论
（1） 证明集合的并集运算是交换的 A∪B=B∪AA \cup B = B \cup A
∀x∈A∪B\forall x \in A \cup B 都有 x∈Ax \in A 或 x∈Bx \in B，所以 x∈B∪Ax \in B \cup A
∀x∈B∪A\forall x \in B \cup A 都有 x∈Bx \in B 或 x∈Ax \in A，所以 x∈A∪Bx \in A \cup B
所以 A∪B=B∪AA \cup B = B \cup A
（2） 证明 A∪A=A∪∅=∅∪A=AA \cup A = A \cup \emptyset = \emptyset \cup A = A
∀x∈A∪A\forall x \in A \cup A 都有 x∈Ax \in A
∀x∈A\forall x \in A 都有 x∈Ax \in A 因此 x∈A∪Ax \in A \cup A
所以：
A∪A=AA \cup A = A
∀x∈A∪∅\forall x \in A \cup \emptyset 都有 x∈Ax \in A 或 x∈∅x \in \emptyset，有因为不存在任何对象 xx 满足 x∈∅x \in \emptyset，所以 x∈Ax \in A
∀x∈A\forall x \in A 都有 x∈Ax \in A ，所以 x∈A∪∅x \in A \cup \emptyset
所以 A∪∅=AA \cup \emptyset = A
同理 ∅∪A=A\emptyset \cup A = A
3.1.4 证明命题 3.1.18
(1) 如果 A⊆BA \subseteq B 同时 B⊆AB \subseteq A 则 A=BA = B
A⊆BA \subseteq B 表明 ∀x∈A⟹x∈B\forall x \in A \Longrightarrow x \in B
B⊆AB \subseteq A 表明 ∀x∈B⟹x∈A\forall x \in B \Longrightarrow x \in A
所以 A=BA = B
(2) 证明 A⊂BA \subset B 同时 B⊂CB \subset C 则 A⊂CA \subset C
A⊂BA \subset B 表明 ∀x∈A⟹x∈B\forall x \in A \Longrightarrow x \in B
B⊂CB \subset C 表明 ∀x∈B⟹x∈C\forall x \in B \Longrightarrow x \in C
所以 ∀x∈A⟹x∈C\forall x \in A \Longrightarrow x \in C，也就是 A⊆CA \subseteq C
A⊂BA \subset B 还表明至少存在一个yy 满足 y∈B,y∉Ay \in B, y \notin A
因为 B⊂CB \subset C，所以 y∈Cy \in C
所以 y∈Cy \in C 同时 y∉Ay \notin A
所以 A≠CA \neq C
因为 A⊆CA \subseteq C 同时 A≠CA \neq C
所以 A⊂CA \subset C
3.1.5 A 、B 是集合，证明三个命题 A⊆BA \subseteq B、A∪B=BA \cup B = B、A∩B=AA \cap B = A 是等价的
（1）证明 A⊆B⟹A∪B=BA \subseteq B \Longrightarrow A \cup B = B
首先 B⊆A∪BB \subseteq A \cup B，因此只需证明 A⊆B⟹A∪B⊆BA \subseteq B \Longrightarrow A \cup B \subseteq B
A⊆BA \subseteq B
⟹∀x∈A,x∈B\Longrightarrow \forall x \in A, x \in B
同时 ∀x∈B,x∈B\forall x \in B, x \in B
所以 ∀x∈A\forall x \in A or x∈B,x∈Bx \in B ,x \in B
⟹A∪B⊆B\Longrightarrow A \cup B \subseteq B
（2）证明 A∪B=B⟹A⊆BA \cup B = B \Longrightarrow A \subseteq B
A∪B=BA \cup B = B
⟹∀x∈A\Longrightarrow \forall x \in A 都有 x∈Bx \in B
⟹A⊆B\Longrightarrow A \subseteq B
至此，证明了 A⊆BA \subseteq B 与 A∪B=BA \cup B = B 等价。
（3）证明 A⊆B⟹A∩B=AA \subseteq B \Longrightarrow A \cap B = A
A⊆BA \subseteq B
⟹∀x∈A,x∈B\Longrightarrow \forall x \in A, x \in B
⟹∀x∈A,x∈B\Longrightarrow \forall x \in A, x \in B and x∈Ax \in A
⟹∀x∈A,x∈A∩B\Longrightarrow \forall x \in A , x \in A \cap B
⟹A⊆A∩B\Longrightarrow A \subseteq A \cap B
另外，显然 A∩B⊆AA \cap B \subseteq A
所以 A⊆B⟹A∩B=AA \subseteq B \Longrightarrow A \cap B = A
（4）证明 A∩B=A⟹A⊆BA \cap B = A \Longrightarrow A \subseteq B
A∩B=AA \cap B = A
⟹∀x∈A\Longrightarrow \forall x \in A 都有 x∈Bx \in B
⟹A⊆B\Longrightarrow A \subseteq B
至此，证明了 A⊆BA \subseteq B 与 A∩B=AA \cap B = A 等价。
因为 A∩B=AA \cap B = A 和 A∪B=BA \cup B = B 都与 A⊆BA \subseteq B 等价。
所以A∩B=AA \cap B = A 和 A∪B=BA \cup B = B 等价。
3.1.6 证明命题 3.1.28
(a) 证明 A∪∅=AA \cup \emptyset = A 和 A∩∅=∅A \cap \emptyset = \emptyset
由并集定义有 A⊆A∪∅A \subseteq A \cup \emptyset
∀x∉A\forall x \notin A 都有 x∉Ax \notin A 和 x∉∅x \notin \emptyset
所以 ∀x∉A,x∉A∪∅\forall x \notin A, x \notin A \cup \emptyset
所以 A∪∅⊆AA \cup \emptyset \subseteq A
所以 A∪∅=AA \cup \emptyset = A
由交集定义有 ∅⊆A∩∅\emptyset \subseteq A \cap \emptyset
∀x∉∅,x∉A∩∅\forall x \notin \emptyset, x \notin A \cap \emptyset
所以 A∩∅⊆∅A \cap \emptyset \subseteq \emptyset
所以 A∩∅=∅A \cap \emptyset = \emptyset
(b) 证明 A∪X=XA \cup X = X 和 A∩X=AA \cap X = A
显然 X⊆A∪XX \subseteq A \cup X，A∩X⊆AA \cap X \subseteq A
只需证明 A∪X⊆XA \cup X \subseteq X 和 A⊆A∩XA \subseteq A \cap X
因为 A⊆XA \subseteq X
⟹∀x∈A,x∈X\Longrightarrow \forall x \in A, x \in X
⟹∀x∈A∪X,x∈X\Longrightarrow \forall x \in A \cup X, x \in X
⟹A∪X⊆X\Longrightarrow A \cup X \subseteq X
因为 A⊆AA \subseteq A 同时 A⊆XA \subseteq X
所以 A⊆A∩XA \subseteq A \cap X
(c) 证明 A∪A=AA \cup A = A 和 A∩A=AA \cap A = A
显然 A⊆A∪AA \subseteq A \cup A
∀x∈A∪A,x∈A\forall x \in A \cup A, x \in A 所以 A∪A⊆AA \cup A \subseteq A
所以 A∪A=AA \cup A = A
显然 A∩A⊆AA \cap A \subseteq A
∀x∈A,x∈A∩A\forall x \in A, x \in A \cap A 所以 A⊆A∪AA \subseteq A \cup A
所以 A∩A=AA \cap A = A
(d) 证明 A∩B=B∩AA \cap B = B \cap A 和 A∪B=B∪AA \cup B = B \cup A
习题 3.1.3 已经证明 A∪B=B∪AA \cup B = B \cup A
这里只证明 A∩B=B∩AA \cap B = B \cap A
∀x∈A∩B,x∈A,x∈B\forall x \in A \cap B, x \in A, x \in B 所以 x∈B∩Ax \in B \cap A
所以 (A∩B)⊆(B∩A)(A \cap B) \subseteq (B \cap A)
∀x∈B∩A,x∈A,x∈B\forall x \in B \cap A, x \in A, x \in B 所以 x∈A∩Bx \in A \cap B
所以 (B∩A)⊆(A∩B)(B \cap A) \subseteq (A \cap B)
所以 A∩B=B∩AA \cap B = B \cap A
(e) 证明 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) 和 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
书中已经证明了 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) 这里只证明 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
∀x∈(A∩B)∩C\forall x \in (A \cap B) \cap C 要同时满足 x∈(A∩B)x \in (A \cap B) 和 x∈Cx \in C
也就是要同时满足 x∈Ax \in A、x∈Bx \in B 和 x∈Cx \in C
也就是要同时满足 x∈Ax \in A 和 x∈B∩Cx \in B \cap C
也就是要满足 x∈A∩(B∩C)x \in A \cap (B \cap C)
所以 (A∩B)∩C⊆A∩(B∩C)(A \cap B) \cap C \subseteq A \cap (B \cap C)
类似的，也可证明 A∩(B∩C)⊆(A∩B)∩CA \cap (B \cap C) \subseteq (A \cap B) \cap C
所以 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
(f) 证明 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) 和 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
先证明 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
∀x∈A∩(B∪C)\forall x \in A \cap (B \cup C) 要满足 x∈Ax \in A 和 x∈B∪Cx \in B \cup C
x∈Ax \in A 同时 x∈Bx \in B 和 x∈Cx \in C 要至少满足一个。分成两种情况。
（1）x∈Ax \in A 同时 x∈B⟹x∈A∩B⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)x \in B \Longrightarrow x \in A \cap B \Longrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)
（2）x∈Ax \in A 同时 x∉Bx \notin B 但是 x∈C⟹x∈A∩C⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)x \in C \Longrightarrow x \in A \cap C \Longrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)
所以 ∀x∈A∩(B∪C)⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)\forall x \in A \cap (B \cup C) \Longrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)
所以 A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup (A \cap C)
∀x∈(A∩B)∪(A∩C)⟹x∈(A∩B)\forall x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \Longrightarrow x \in (A \cap B) 或 x∈(A∩C)x \in (A \cap C)
当 x∈(A∩B)x \in (A \cap B) 时，x∈A∩(B∪C)x \in A \cap (B \cup C)
当 x∈(A∩C)x \in (A \cap C) 时，x∈A∩(B∪C)x \in A \cap (B \cup C)
所以 ∀x∈(A∩B)∪(A∩C)⟹x∈A∩(B∪C)\forall x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \Longrightarrow x \in A \cap (B \cup C)
所以 (A∩B)∪(A∩C)⊆A∩(B∪C)(A \cap B) \cup (A \cap C) \subseteq A \cap (B \cup C)
所以 (A∩B)∪(A∩C)=A∩(B∪C)(A \cap B) \cup (A \cap C) = A \cap (B \cup C)
类似方法可以证明 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
(g) 证明 A∪(X∖A)=XA \cup (X \setminus A) = X 和 A∩(X∖A)=∅A \cap (X \setminus A) = \emptyset
先证明 A∪(X∖A)=XA \cup (X \setminus A) = X
∀x∈A∪(X∖A)⟹x∈A\forall x \in A \cup (X \setminus A) \Longrightarrow x \in A 或者 x∈X∖A⟹x∈Xx \in X \setminus A \Longrightarrow x \in X
所以 A∪(X∖A)⊆XA \cup (X \setminus A) \subseteq X
∀x∈X⟹x∈A\forall x \in X \Longrightarrow x \in A 或者 x∈X∖A⟹x∈A∪(X∖A)x \in X \setminus A \Longrightarrow x \in A \cup (X \setminus A)
所以 X⊆A∪(X∖A)X \subseteq A \cup (X \setminus A)
所以 A∪(X∖A)=XA \cup (X \setminus A) = X
再证明 A∩(X∖A)=∅A \cap (X \setminus A) = \emptyset
反证法，假设 A∩(X∖A)≠∅A \cap (X \setminus A) \not= \emptyset 则至少存在一个 xx 满足 x∈A∩(X∖A)x \in A \cap (X \setminus A)
对 xx 分类讨论
（1） x∈A⟹x∉(X∖A)⟹x∉A∩(X∖A)x \in A \Longrightarrow x \notin (X \setminus A) \Longrightarrow x \notin A \cap (X \setminus A) 推出矛盾。
（2）x∈(X∖A)⟹x∉A⟹x∉A∩(X∖A)x \in (X \setminus A) \Longrightarrow x \notin A \Longrightarrow x \notin A \cap (X \setminus A) 推出矛盾。
所以 A∩(X∖A)=∅A \cap (X \setminus A) = \emptyset
(h) 证明 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B)X \setminus (A \cup B) = (X \setminus A) \cap (X \setminus B) 和 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)X \setminus (A \cap B) = (X \setminus A) \cup (X \setminus B)
先证明 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B)X \setminus (A \cup B) = (X \setminus A) \cap (X \setminus B)
∀x∈X∖(A∪B)\forall x \in X \setminus (A \cup B)
⟹x∉(A∪B)\Longrightarrow x \notin (A \cup B)
⟹x∉A\Longrightarrow x \notin A 同时 x∉Bx \notin B
⟹x∈X∖A\Longrightarrow x \in X \setminus A 同时 x∈X∖Bx \in X \setminus B
⟹x∈(X∖A)∩(X∖B)\Longrightarrow x \in (X \setminus A) \cap (X \setminus B)
所以 X∖(A∪B)⊆(X∖A)∩(X∖B)X \setminus (A \cup B) \subseteq (X \setminus A) \cap (X \setminus B)
类似可证 (X∖A)∩(X∖B)⊆X∖(A∪B)(X \setminus A) \cap (X \setminus B) \subseteq X \setminus (A \cup B)
所以 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B)X \setminus (A \cup B) = (X \setminus A) \cap (X \setminus B)
证明 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)X \setminus (A \cap B) = (X \setminus A) \cup (X \setminus B)
∀x∈X∖(A∩B)\forall x \in X \setminus (A \cap B)
⟹x∉A∩B\Longrightarrow x \notin A \cap B
⟹x∉A\Longrightarrow x \notin A 或者 x∉Bx \notin B
⟹x∈X∖A\Longrightarrow x \in X\setminus A 或者 x∈X∖Bx \in X \setminus B
⟹x∈(X∖A)∪(X∖A)\Longrightarrow x \in (X\setminus A) \cup (X\setminus A)
所以 X∖(A∩B)⊆(X∖A)∪(X∖B)X \setminus (A \cap B) \subseteq (X \setminus A) \cup (X \setminus B)
类似的 (X∖A)∪(X∖B)⊆X∖(A∩B)(X \setminus A) \cup (X \setminus B) \subseteq X \setminus (A \cap B)
所以 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)X \setminus (A \cap B) = (X \setminus A) \cup (X \setminus B)
3.1.7 证明方法类似，这里省略了
3.1.8 证明 A∩(A∪B)=AA \cap (A \cup B) = A 和 A∪(A∩B)=AA \cup (A \cap B) = A
先证明 A∩(A∪B)=AA \cap (A \cup B) = A
显然 A∩(A∪B)⊆AA \cap (A \cup B) \subseteq A
因此只需证明A⊆A∩(A∪B)A \subseteq A \cap (A \cup B)
∀x∈A\forall x \in A
⟹x∈A∪B\Longrightarrow x \in A \cup B
⟹x∈A∩(A∪B)\Longrightarrow x \in A \cap (A \cup B)
⟹A⊆A∩(A∪B)\Longrightarrow A \subseteq A \cap (A \cup B)
所以 A∩(A∪B)=AA \cap (A \cup B) = A
再证明 A∪(A∩B)=AA \cup (A \cap B) = A
显然 A⊆A∪(A∩B)A \subseteq A \cup (A \cap B)
只需证明 A∪(A∩B)⊆AA \cup (A \cap B) \subseteq A
∀x∈A∪(A∩B)\forall x \in A \cup (A \cap B)
⟹x∈A\Longrightarrow x \in A 或者 x∈(A∩B)x \in (A \cap B)
其中 x∈(A∩B)⟹x∈Ax \in (A \cap B) \Longrightarrow x \in A
所以 ∀x∈A∪(A∩B)⟹x∈A\forall x \in A \cup (A \cap B) \Longrightarrow x \in A
所以 A∪(A∩B)⊆AA \cup (A \cap B) \subseteq A
所以 A∪(A∩B)=AA \cup (A \cap B) = A
3.1.9 A∪B=X,A∩B=∅A \cup B = X, A\cap B = \emptyset 证明 A=X∖B,B=X∖AA = X \setminus B, B = X \setminus A
因为 A∩B=∅A\cap B = \emptyset
所以 ∀x∈A,x∉B\forall x \in A, x \notin B
所以 A⊆X∖BA \subseteq X \setminus B
∀x∈X∖B\forall x \in X \setminus B
⟹x∈X,x∉B\Longrightarrow x \in X, x \notin B
⟹x∈A∪B,x∉B\Longrightarrow x \in A \cup B, x \notin B
⟹x∈A\Longrightarrow x \in A
⟹X∖B⊆A\Longrightarrow X \setminus B \subseteq A
所以 X∖B=AX \setminus B = A
类似可证 B=X∖AB = X \setminus A
3.1.10 证明 A∖BA \setminus B、A∩BA \cap B、B∖AB \setminus A 是不交的。他们的并是 A∪BA \cup B
这里只证明他们的并是 A∪BA \cup B
A∪B=(A∖B)∪B=(A∖B)∪(B∖A)∪(A∩B)A \cup B = (A \setminus B) \cup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B)
3.1.11 证明替换公理蕴涵分类公理
设分类公理中的命题为 P0(x)P_0(x)
那么可以构造替换公理中的命题 P(x,y)P(x,y) 为 当 P0(x)P_0(x) 为真且 y=xy=x 时P(x,y)P(x,y) 为真。则这时替换公理获得的集合与分类公理获得的集合相同。
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