切比雪夫不等式例题讲解_数学广角：切比雪夫最佳逼近直线

（题图为第一类切比雪夫多项式的图像）

大家好！

今天给大家带来一个难度相对较大的内容：切比雪夫最佳逼近直线。这个内容在浙江省和江苏省考得比较多，其它考区不太清楚，听说全国卷不等式都是放在“不等式选讲”里面考的，应该考的不多吧。

首先解释一下为什么不更全能生的大题。因为这个大题实在虎头蛇尾，三角函数大题还有点难度，到后面就没啥了，个人认为意义不是太大。然后最近浙江省好卷太少了，比如杭二月考卷，有很多题都在平时的练习中见过，20题还是我们学校上学期考试或者是周周练的原题，这是让我比较失望的。温州中学和名校协作体也有dalao已经在知乎上写了。所以今天就写一个求最值方面的小技巧吧。

今天要介绍的技巧称为切比雪夫最佳逼近线，一般情况下运用在求形如

的函数的最大值的最小值问题中。

切比雪夫最佳逼近

以下内容是理论分析，可能比较抽象。不必担心，看完以后再看后面的实际操作例题就可以理解的。但是不要跳过理论分析直接看例题，那样可能不知道我究竟在干嘛。

设

是

上的连续函数，

，

，称

为

与直线

的偏差，成功取到最大值的那个

称为偏差点，若

则称为正偏差点，

则称为负偏差点。

注意到

的几何意义就是

和

在横坐标相等时的“纵向距离”，因此这种方法也叫做借助纵向距离法。

定义集合

，若存在函数

使得对

，都满足

，则称

为

的最佳逼近直线。

我很想用大白话翻译一下上述数学语言，但是找不到什么大白话，所以还是请大家仔细理解一下了。

然后讲一下最佳逼近直线的求法。

对于凹、凸函数（即二阶导数在定义域内不变号），最佳逼近直线的求法是：

代数表述：

式中k即为MN斜率，c满足

几何表述：

（1）连接

（2）在

曲线上找一点C，使得

在C处的切线平行于MN

请注意，C点是一定存在的，拉格朗日中值定理可以证明C的存在性。

（3）连接MC，取其中点D，过D作MN的平行线，该直线即为最佳逼近直线。M，C，N轮流为正负偏差点。

（更加简单的表述：作直线MN和C处切线的“中间”直线）

例题

例1

，使得对

，

，求c的最大值。

通过对存在、任意两个量词的理解和分析，我们可以判断出这是一道典型的最大值的最小值问题。

，所以可以用最佳逼近。

注意，由于二次函数的二阶导数是常数，其凹凸性不会变化，所以对于二次函数可以免去求二阶导数的步骤。

两端点的割线斜率为1，割线方程为

在点

处的切线斜率为1（这个点可以由求导很容易的解出，此处略去），切线方程为

其“中间”直线即为最佳逼近直线，

例2 （2015·浙江学考，34（3））

，对

，

，求m的取值范围。

请注意，对于我们很熟悉的函数，我们可以直接通过画图像判断其凹凸性，不求二阶导数也没有关系。

显然是一个上凸函数。

两端点割线

（1，1）处切线

“中间”直线为最佳逼近直线：

（求导求最值过程略去）

故

这道题当年在学考中是一个大题，意在考察分类讨论的思想和绝对值不等式的应用，所以考场上不能用最佳逼近。但是在高考中此类试题一般会出现在小题中，此时切比雪夫最佳逼近可以成为一个非常好的办法。

例3 （2010·全国高中数学联赛，9）已知函数

，当

，

，求a的最大值。

令

端点相连的割线：

g(x)在

处的切线：

“中间”直线为最佳逼近直线：

令

显然a的最大值为

例3是已知最大值的最小值反求参数的问题，相当于是逆用，与前两道正用的有所区别。

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切比雪夫最佳逼近

例题

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