极限中0除以常数_第七讲极限存在准则和两个重要极限

写在前面的话：

本文主要内容是两个极限存在准则，以及由这两个准则推出的两个重要极限。以后解题可以直接用此重要极限。还有就是注意数列与函数之间的联系，它们在很多时候都是互通的。

另外，如果发现错误之处，欢迎指出，我会及时完善。大家一起学习吧~

准则

（夹逼准则）：

如果数列

满足下列条件：

①

②

那么

有极限且

。

证明：根据准则中的条件②：

，可由极限定义知：

，由于

，因此存在

，使当

时，

亦即

;

又

，因此存在存在

，使当

时，

亦即

;

,不等式

均成立，分别取不等式

和

的左半侧和右半侧有

，再结合条件①

有

，可得

。我们把带有下划线的文字连成一句话：对任意给定的

，存在

，当

时，

。这不就是数列极限定义嘛~所以推出

。证毕！

以上是关于数列的夹逼准则，我们可以把它推广到函数，如下:

准则

：

如果函数

满足下列条件：

①

（或

）时，

②

（或

）

那么

存在，且

（或

存在且

）。

证明过程与数列夹逼准则类似，这里不再赘述。

重要极限1：

证明：此函数分母的极限为

，所以不能直接用极限商的运算法则来证明。我们可以用夹逼准则来证明：

如下图单位圆中，令

，点

的切线与

的延长线交于

，

，则线段

、弧

和线段

的长度分别满足：

，由于

面积（

）

扇形

的面积（

）

的面积（

），所以有

同时除以

：

由于用

代替

时，

与

值不变，所以当

时，

也成立。这样就得出，当

，

，下面我们根据夹逼准则证明当

时，不等式两侧的

与

的极限为

，便得出

极限也为

。下面来证明

：

当

时，

即

由于

根据夹逼准则

，

，而根据极限差的运算法则

因此

。

由于

,根据夹逼准则

，即得

,证毕！

例题：

1.求

解：

准则

（单调有界原理）：

单调有界数列必有极限。

单调增数列：

单调减数列：

单调增数列和单调减数列统称为单调数列。

注：(1)在数列极限的性质那一讲中，收敛数列的有界性提到（戳我了解）：数列有极限（收敛）则一定有界，但是数列有界却不一定有极限，应该补充为，数列单调且有界才有极限（收敛）。

(2)对于准则

的几何解释为（以单调增数列为例）:

数列单调增加有两种情况，情况①为，数列每一项的值不断增大，一直趋向于无穷大；情况②是数列每一项值不断增大，但是最终不断趋向于某一个常数

。所以如果单调增数列有界的话就不可能为情况①，只能是情况②。

重要极限2：

首先我们证明当

取正整数

而趋近于

的情形，这样就产生了一个数列。

设数列通项为

,我们来证明数列

单调增加且有界。根据二项式定理（戳我了解）展开：

最终化简可得：

类似地，

比较

和

的最终展开式，可以看到除了前两项均为

外，在后面的所有项中，

的每一项都小于

的对应项，并且仔细观察可以看出，

还比

多出最后一项

，该项的值是大于

的，因此

,故数列

是严格

单调增加的（戳我了解严格单调与单调的关系）

另外还可证明数列

是有界的，因为把

的展开式中各项括号内的数用较大的数

代替，得

这说明数列

有界，又因为之前证明其单调，所以单调有界，根据准则

，这个数列极限存在，通常用字母

表示它，即

。证毕！

注：① 可以把该数列极限推广到函数

，有

书上注解中有证明，自己好好琢磨。

②可以证明无论是

还是

函数

的极限都存在，且为

。（书上注解）

③

是无理数，跟指数函数

和自然对数

的底

是同一个常数。

④ 利用复合函数的极限运算法则，把表达式

中的

代换为

,当

时，

，由复合函数的极限运算法则：

。其实无论是

还是

它们的共同点是当指数部分趋向于无穷大，括号内第二项趋向于无穷小，二者形式上互为倒数，那么极限为

。

例题：求

解：