极限中0除以常数_第六讲极限的运算法则

写在前面的话：

国庆假期浪完啦~马上要上班了，大家也快开学了，祝福祖国，也祝福大家！

这一讲主要讲的是函数极限的运算法则，当然也适用于数列极限咯~大家好好学习吧。

如果有打错字的地方还请积极提出来，以方便大家阅读。如果你是新来的小伙伴，还请从头看我的专栏文章呦，重点理解极限的定义，打好基础，往后的学习过程才不会痛苦。

我总结的最好的学习方法就是两个字：反复，反复琢磨。不要相信自己的记忆力，因为记了会忘。要相信自己的理解力，反复琢磨，大家都是可以的。

以下运算法则对

和

都成立：

法则一：如果

则

。

下面我们根据无穷小和极限的关系（戳我了解）来证明极限的运算法则，

以

为极限推出

等于

加上一个无穷小量

;

以

为极限推出

等于

加上一个无穷小量

。

则

由于

是无穷小，所以两个无穷小量之和

自然也是无穷小；另外

视为常数

和无穷小

的乘积，是一个无穷小，所以

也是无穷小。

再由“有极限的函数”与无穷小的关系，可知

有极限且极限是

，即

。证毕！

比如：

法则二：如果

则

。

证明：

以

为极限推出

等于

加上一个无穷小量

;

以

为极限推出

等于

加上一个无穷小量

。

从而

由无穷小的性质（戳我了解），

都是无穷小，从而

是无穷小，由“有极限的函数”与无穷小的关系可知，

有极限且极限是

，即

。证毕！

比如：

注：这个法则由两个推论：

（1）如果

，

为常数，则

。

（2）如果

，

为正整数，则

。

法则三：如果

，则

。

证明：

以

为极限推出

等于

加上一个无穷小量

;

以

为极限推出

等于

加上一个无穷小量

。

则

，等式两边同时减去

：

由于

，根据函数极限的局部保号性（戳我了解），存在

的某去心邻域，当

在该邻域时，有

，从而

。

又

，所以

是一个有界函数，而

是一个无穷小量，因此

是一个有界函数与一个无穷小量的乘积，结果也是无穷小。

由无穷小与“有极限的函数”的关系（如果函数可以表示成常数和一个无穷小之和，那么这个常数就是函数的极限。）可知，因为

，所以

有极限且极限为

，即

。

例题：

解：

（分母极限不为零）。

解：

注：像例题2中，分子和分分母皆为一个多项式的函数，称为有理函数（戳我了解）。在有理函数中，当分母的极限不等于

时，函数的极限就等于分子的极限除以分母的极限，而分子分母都是多项式，所以求极限的时候可以直接把

直接代入自变量

的位置。总结如下：

① 如果

为

次多项式，即

那么

② 若有理函数

，其中

，

是多项式，则

。如果

，

则

。

（分母极限为零，分母可因式分解）

思路：在极限的运算中，商的运算法则要求分母的极限不能为

，所以此题不能直接运用商的运算法则。故需恒等变换，将分母因式分解。

解：

（分母极限为零，分母不可因式分解）

思路：分母极限为零，还是不可直接用商的运算法则。而分母为一个二次质因式（戳我了解），不能进一步因式分解。所以我们想办法，先求该式的倒数，看看结果如何。

解：原式倒数

,我们知道，以

为极限的函数是无穷小量，故

是

时的无穷小，它的倒数是

时的无穷大，即

（亦即极限不存在）。

（分子分母皆无极限）

思路：我们知道，在运用和差积商运算法则的时候，要求分子分母极限皆存在，但是此题分子分母极限显然不存在，所以不可用商的运算法则。故需在四则运算之前对函数进行恒等变换：把分子和分母同时处以

的最高次幂（即

）。

解：

(分子分母皆无极限）

解：

（分子分母皆无极限）

错解：

正解：和例题4一样，先求倒数

是

时的无穷小，所以它的倒数

是

时的无穷大，故

(亦即极限不存在）。

对以上有理函数，当

时，求极限我们进行如下总结：

解：此题分母极限为零，故不能直接运用商的运算法则，先进行因式分解。

解：在此题中因为极限符号下标是“

”而非“

”所以

是变量，把

看作常量，这一点要搞清楚。因为分母极限为

，所以不能直接运用商的运算法则。先对分子进行恒等变换。

10.

解：我们说过函数极限的运算法则同样适用于数列。但是此题中分子分母皆无极限。所以先把分子分母同时除以

的最高次幂

。

11.

解：此题中分子分母皆无极限，所以不能直接用商的运算法则。那么我们可不可以把分子拆开得到

，从而运用极限和的运算法则呢，显然不能，因为

时，是无穷多项相加，而不是有限项相加。只有有限项极限相加才能运用和的运算法则！！所以，我们需用等差数列前

项和的公式（戳我了解）对分子进行恒等变换。

12.

解：此题中分子分母皆无极限，所以不能用商的运算法则。所有需进行恒等变换。

法则四：复合函数的极限运算法则：设

，且

，但在

的某去心邻域内，

。又

，则复合函数

当

时有极限，且

。

下面我们来证明该法则，我们要证明的是

。

证明：由于

，根据极限定义，

，存在

，使当

时，

；又因为

，对

，存在

，使当

时，

。

又根据条件:在

的某去心邻域，即

内，

，

时，有

，从而

。把带有下划线的文字连成一句话：对任意给定的

,存在

，使当

时，

，

。故证毕！如果文字还有不太明白的请看下面视频：

知乎视频www.zhihu.com

法则五：如果

，而

，则

。

（简单来说，如果函数大，自变量在同一个变化过程中，极限也大。）

证明：设

，根据本文中的法则一（差的极限法则），可求

的极限：

，有根据极限的保号性定理（戳我了解），因为

,所以

，即

。证毕！