热力学与统计物理笔记(WIP)
\newcommand{\fracpartial}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
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热统笔记Ex(WIP)
- 物理量与概念
- 定律、定理、方程
- 模型与系统
- 卡诺热机
- 简单系统
- 黑体辐射
- 理想气体
- 磁介质
- van der Waals气体
- 过程
- 相变
- 单元系
- 多元系(φ\varphiφ元kkk相系)
- 朗道连续相变理论
- 相变
- 例子与证明
- 铁磁体的连续相变
- 孤立系统稳定平衡条件的导出
- Cp=CV+TVα2κTC_p=C_V+\frac{TV\alpha^2}{\kappa_T}Cp=CV+κTTVα2
- 方法与技巧
- 数学公式
物理量与概念
熵 dS≥dQT对稳态取等号\textrm{d}S\geq\frac{\textrm{d}Q}{T}\textrm{对稳态取等号}dS≥TdQ对稳态取等号
- 是n⃗\vec nn的一次齐函数
- 引入：热力学第二定律
温度 T
热容
- CV=(∂U∂T)V=T(∂S∂T)VC_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_VCV=(∂T∂U)V=T(∂T∂S)V
- Cp=(∂H∂T)p=T(∂S∂T)pC_p=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_pCp=(∂T∂H)p=T(∂T∂S)p
- γ=CpCV\gamma=\frac{C_p}{C_V}γ=CVCp
- CV=Cp−TVα2κTC_{V}=C_{p}-\frac{T V \alpha^{2}}{\kappa_{T}}CV=Cp−κTTVα2
压缩系数
- 体胀系数α=1V(∂V∂T)p\alpha=\frac1V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_pα=V1(∂T∂V)p
- 压强系数β=1p(∂p∂T)V\beta=\frac1p\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_Vβ=p1(∂T∂p)V
- 等温压缩系数κT=−1V(∂V∂p)\kappa_T=-\frac1V\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)κT=−V1(∂p∂V)
- α=pβκT\alpha=p\beta\kappa_Tα=pβκT
热力学势函数(混合二阶导数相等可导出麦克斯韦关系，物理量之间的关系可由微分式的一阶导得出)
- 内能
- U=TS−pV+μNU=TS-pV+\mu NU=TS−pV+μN
- dU=TdS−pdV+μ⃗⋅dn⃗\textrm{d}U=T\textrm{d}S-p\textrm{d}V+\vec\mu\cdot\textrm{d}\vec ndU=TdS−pdV+μ⋅dn
- 是n⃗\vec nn的一次齐函数
- 焓
- H:=U+pVH:=U+pVH:=U+pV
- dH=TdS+Vdp+μ⃗⋅dn⃗\textrm{d}H=T\textrm{d}S+V\textrm{d}p+\vec\mu\cdot\textrm{d}\vec ndH=TdS+Vdp+μ⋅dn
- 是n⃗\vec nn的一次齐函数
- 自由能
- F:=U−TSF:=U-TSF:=U−TS
- dF=−SdT−pdV+μ⃗⋅dn⃗\textrm{d}F=-S\textrm{d}T-p\textrm{d}V+\vec\mu\cdot\textrm{d}\vec ndF=−SdT−pdV+μ⋅dn
- 是n⃗\vec nn的一次齐函数
- 吉布斯函数
- G:=U−TS+pVG:=U-TS+pVG:=U−TS+pV
- dG=−SdT+Vdp+μ⃗⋅dn⃗\textrm{d}G=-S\textrm{d}T+V\textrm{d}p+\vec\mu\cdot\textrm{d}\vec ndG=−SdT+Vdp+μ⋅dn
- 是n⃗\vec nn的一次齐函数
- 巨热力势
- J:=F−μnJ:=F-\mu nJ:=F−μn
- dJ=−SdT−pdV−n⃗⋅dμ⃗\textrm{d}J=-S\textrm{d}T-p\textrm{d}V-\vec n\cdot\textrm{d}\vec\mudJ=−SdT−pdV−n⋅dμ
- 偏摩尔X
- KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\fracpartial' at position 6: x_i:=\̲f̲r̲a̲c̲p̲a̲r̲t̲i̲a̲l̲{X}{n_i}
- X可为任意热力学势函数/熵/体积等是物质摩尔数的一次齐函数的广延量
- 内能
化学势
- μ=(∂G∂n)T,p\mu=\left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{T,p}μ=(∂n∂G)T,p
- Gibbs-Duhem关系式dμ=−SmdT+Vmdp\textrm{d}\mu=-S_m\textrm{d}T+V_m\textrm{d}pdμ=−SmdT+Vmdp
相变相关
- 相：系统中物理性质和化学性质完全相同的均匀部分
- 相变：物质由一种相转变为另一种相的过程
- 连续相变：相变时化学式一阶导连续的相变
- 朗道连续相变理论相关
- 序参量：描述系统有序程度的量
- 表现：在一个相中的平衡态为0，在另一个相中的平衡态不为0
- 朗道函数LLL：序参量的函数
- 平衡态时LLL取极小
- 一般为偶函数
- 自发对称性破缺：基态不具有对称性
- 序参量：描述系统有序程度的量
- 反应度ϵ=Δn−ΔnbΔna−Δnb\epsilon=\frac{\Delta n-\Delta n_b}{\Delta n_a-\Delta n_b}ϵ=Δna−ΔnbΔn−Δnb
- Δn\Delta nΔn为物质反应平衡时改变的量
- Δna\Delta n_aΔna正向反应至最大限度（不考虑平衡）时该物质物质的量的改变量
- Δnb\Delta n_bΔnb逆向反应至最大限度（不考虑平衡）时该物质物质的量的改变量
- 化学反应平衡
摩尔分数: xi:=ninx_i:=\frac{n_i}{n}xi:=nni
- 显然有∑ixi=1\sum_ix_i=1∑ixi=1
定律、定理、方程
- 热力学第零定律：系统A与B之间的平衡关系为一种等价关系
- 热力学第一定律dU=dW+dQ\textrm{d}U=\textrm{d}W+\textrm{d}QdU=dW+dQ
- 热力学第二定律（熵增原理）：
- 几种表述
- 开式表述1：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其他变化
- 开式表述2：第二类永动机是不可能的
- 克氏表述：不可能把热量从低温物体转移至高温物体而不引起其他变化
- 克劳修斯等式和不等式∮dQT≤0,当且仅当可逆过程中去等号\oint\frac{\textrm{d}Q}T\leq0,\qquad\textrm{当且仅当可逆过程中去等号}∮TdQ≤0,当且仅当可逆过程中去等号
- 绝热过程 dS≥0\textrm{d}S\geq0dS≥0
- 熵的定义
- 几种表述
- 热力学第三定律limT→0ΔS=0\lim_{T\to0}\Delta S=0T→0limΔS=0
- 能斯特定理：不可能通过有限的步骤使一个物体冷却到绝对零度
- H,GH,GH,G在T=0T=0T=0附近相等（一阶导也相等，证明：做差求导洛必达）
- limT→0Cy=limT→0T(∂S∂T)y=0\lim_{T\to0}C_y=\lim_{T\to0}T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_y=0limT→0Cy=limT→0T(∂T∂S)y=0
- T→0T\to0T→0时，系统的熵与体积、压强无关⇒α→0,β→0\Rightarrow\alpha\to0,\beta\to0⇒α→0,β→0
- 热力学基本方程：dU≤dW+TdS\textrm{d}U\leq\textrm{d}W+T\textrm{d}SdU≤dW+TdS对可逆过程取等号
- 卡诺定理：所有工作于两个一定温度之间的热机，以可逆机的效率最高（卡诺热机）
- 吉布斯-亥姆霍兹方程U=F−T∂F∂TU=F-T\frac{\partial F}{\partial T}U=F−T∂T∂FH=G−T∂G∂TH=G-T\frac{\partial G}{\partial T}H=G−T∂T∂G
- 克拉珀龙方程 dpdT=LT(Vmβ−Vmα)\frac{\textrm{d}p}{\textrm{d}T}=\frac{L}{T(V^\beta_m-V^\alpha_m)}dTdp=T(Vmβ−Vmα)L其中LLL为相变潜热(=ΔH=TΔSm=\Delta H=T\Delta S_m=ΔH=TΔSm)
- Dalton分压定律：xi=pip=ninx_i=\frac{p_i}{p}=\frac{n_i}{n}xi=ppi=nni
模型与系统
卡诺热机
- 过程
- 等温压缩过程
- 绝热压缩过程
- 等温膨胀过程
- 绝热膨胀过程
- 属性
- 效率
- 正循环做功η=1−T2T1\eta=1-\frac{T_2}{T_1}η=1−T1T2
- 负循环吸热η′=T2T1−T2\eta'=\frac{T_2}{T_1-T_2}η′=T1−T2T2
- 效率
简单系统
- 一般将 p, V, T 中的两个视为独立状态参量
- dW=−pdV\textrm{d}W=-p\textrm{d}VdW=−pdV
- 理想气体
- pV=nRTpV=nRTpV=nRT
- van der Waals 气体
- (p+an2V2)(V−nb)=nRT(p+\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT (p+V2an2)(V−nb)=nRT
- Onnes 气体
- KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\[' at position 14: p=\frac{nRT}V\̲[̲1+\frac nVB(T)+…
- 表面系统dW=σdV\textrm{d}W=\sigma\textrm{d}VdW=σdV
- 电介质系统dW=Edp\textrm{d}W=E\textrm{d}pdW=Edp
- 磁介质系统dW=μ0Hdm\textrm{d}W=\mu_0H\textrm{d}mdW=μ0Hdm
黑体辐射
- 基本关系：辐射压强p与辐射能量密度u的关系p=13up=\frac13up=31u
- 热力学函数
- u=aT4a为积分常数u=aT^4\qquad a\textrm{为积分常数}u=aT4a为积分常数
- S=43aT3VS=\frac43aT^3VS=34aT3V
- G=0G=0G=0
- 辐射通量密度Ju=14cu=14caT4=σT4,c为光速J_u=\frac14cu=\frac14caT^4=\sigma T^4,\qquad c\textrm{为光速}Ju=41cu=41caT4=σT4,c为光速
理想气体
- 状态方程pV=nRTpV=nRTpV=nRT
- 热容
- Cp−CV=nRC_p-C_V=nRCp−CV=nR
- γ=CpCV\gamma=\frac{C_p}{C_V}γ=CVCp
- 内能只与温度有关
- dSm=CV,mTdT+RdVmVm\textrm{d}S_m=\frac{C_{V,m}}{T}\textrm{d}T+R\frac{\textrm{d}V_m}{V_m}dSm=TCV,mdT+RVmdVm
- dSm=Cp,mTdT−Rdpp\textrm{d}S_m=\frac{C_{p,m}}{T}\textrm{d}T-R\frac{\textrm{d}p}{p}dSm=TCp,mdT−Rpdp
- dU=CVdT\textrm{d}U=C_V\textrm{d}TdU=CVdT
- U=G+TS−pV=G−T∂G∂T−p∂G∂pU=G+TS-pV=G-T\frac{\partial G}{\partial T}-p\frac{\partial G}{\partial p}U=G+TS−pV=G−T∂T∂G−p∂p∂G
- Hm=Cp,mT+Hm,0H_m=C_{p,m}T+H_{m,0}Hm=Cp,mT+Hm,0
- μ=Gm=RT(φ(T)+lnp),whereφ(T)=Hm,0RT−∫dTRT2∫Cp,mdT−Sm0R\mu=G_m=RT(\varphi(T)+\ln p),\qquad \textrm{where}\quad \varphi(T)=\frac{H_{m,0}}{RT}-\int\frac{\textrm{d}T}{RT^2}\int C_{p,m}\textrm{d}T-\frac{S_{m0}}{R}μ=Gm=RT(φ(T)+lnp),whereφ(T)=RTHm,0−∫RT2dT∫Cp,mdT−RSm0
- 混合理想气体
- 基本定律：Dalton分压定律
- 混合理想液体
- 亨利定律：溶液中溶质平衡蒸气压分压与其在溶液中的摩尔分数成正比
- 理想气体的化学平衡
- 定压平衡常量：lnKp(T)=−∑iνiφi(T)\ln K_p(T)=-\sum_i\nu_i\varphi_i(T)lnKp(T)=−∑iνiφi(T)
- Kp(T)=∏ipiνiK_p(T)=\prod_ip_i^{\nu_i}Kp(T)=∏ipiνi
- 平衡常量：K(T,p)=∏ixiνiK(T,p)=\prod_ix_i^{\nu_i}K(T,p)=∏ixiνi
- K(T,p)=p−νKp,(ν=∑iνi)K(T,p)=p^{-\nu}K_p\\,(\nu=\sum_i\nu_i)K(T,p)=p−νKp,(ν=∑iνi)
- 可用反应度计算出平衡常量
- 定压平衡常量：lnKp(T)=−∑iνiφi(T)\ln K_p(T)=-\sum_i\nu_i\varphi_i(T)lnKp(T)=−∑iνiφi(T)
磁介质
- dW=μ0Hdm\textrm{d}W=\mu_0H\textrm{d}mdW=μ0Hdm
- 可选自由参量：H,m,T\textrm{可选自由参量：}H, m, T可选自由参量：H,m,T
- 居里定律m=CVTHm=\frac{CV}{T}Hm=TCVH
- 朗道连续相变中的例子
van der Waals气体
- 状态方程
- (p+an2V2)(V−nb)=nRT(p+\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT (p+V2an2)(V−nb)=nRT
- (p+aVm2)(Vm−b)=RT(p+\frac a{V_m^2})(V_m-b)=RT(p+Vm2a)(Vm−b)=RT
- KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 4: (p^̲\*+\frac3{v^{\*… KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 2: p^̲\*=\frac T{T_c}…分别为对比压强、对比温度、对比体积
- 相变
- 实验表明(∂p∂Vm)T=0,(∂2p∂Vm2)T=0\left(\frac{\partial p}{\partial V_m}\right)_T=0,\quad\left(\frac{\partial^2 p}{\partial V_m^2}\right)_T=0(∂Vm∂p)T=0,(∂Vm2∂2p)T=0再与状态方程联立即可求得临界压强pcp_cpc、临界温度TcT_cTc、临界体积VcV_cVc
过程
绝热过程：SSS不变
节流过程：HHH不变
等X等Y过程：用U,H,F,GU,H,F,GU,H,F,G中找到X, Y不在微分项里的热力学函数描述，X, Y同时在微分项里的热力学函数恒定（单元闭系）
相变
单元系
- 热动平衡判据
- 孤立系统：
δS=0δ2S<0\begin{array}{cc} &\delta S = 0 \\\\ &\delta^2S<0 \end{array} δS=0δ2S<0 - 等温等压：ΔG>0\Delta G>0ΔG>0
- 等温等体：ΔF>0\Delta F > 0ΔF>0
- 绝热等体：ΔU<0\Delta U < 0ΔU<0
- 复相平衡条件（由δS=0\delta S=0δS=0导出）
- Tα=TβT^\alpha=T^\betaTα=Tβ
- pα=pβp^\alpha=p^\betapα=pβ
- μα=μβ\mu^\alpha=\mu^\betaμα=μβ
- 系统向熵增大的方向演化
- Tα>Tβ⇒δUα>0T^\alpha>T^\beta\Rightarrow\delta U^\alpha>0Tα>Tβ⇒δUα>0
- pα>pβ⇒δVα>0p^\alpha>p^\beta\Rightarrow\delta V^\alpha>0pα>pβ⇒δVα>0
- μα>μβ⇒δnα<0\mu^\alpha>\mu^\beta\Rightarrow\delta n^\alpha<0μα>μβ⇒δnα<0
- 孤立系统：
- 相变分界线：克拉珀龙方程
多元系(φ\varphiφ元kkk相系)
G,F,H,U,S,VG, F, H, U, S, VG,F,H,U,S,V是nin_ini的一次齐函数
- 平衡判据：与单元系基本相同
- μiα=μiβ\mu^\alpha_i=\mu^\beta_iμiα=μiβ
- 多元复相系平衡态的自由度
- 平衡方程{T1=T2=⋯=Tφ(φ−1)个p1=p2=⋯=pφ(φ−1)个μi1=μi2=⋯=μiφk(φ−1)个\begin{cases}T^1=T^2=\cdots=T^\varphi& (\varphi-1)\textrm{个}\\\\p^1=p^2=\cdots=p^\varphi&(\varphi-1)\textrm{个}\\\\\mu_i^1=\mu_i^2=\cdots=\mu_i^\varphi&k(\varphi-1)\textrm{个}\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧T1=T2=⋯=Tφp1=p2=⋯=pφμi1=μi2=⋯=μiφ(φ−1)个(φ−1)个k(φ−1)个
- 待解强度量：(k+1)φ(k+1)\varphi(k+1)φ个
- 自由度f=(k+1)φ−(k+2)(φ−1)=k−2+φf=(k+1)\varphi-(k+2)(\varphi-1)=k-2+\varphif=(k+1)φ−(k+2)(φ−1)=k−2+φ
- 化学平衡
- 反应方程式：∑iνiAi=0\sum_i\nu_iA_i=0i∑νiAi=0
- 消耗的反应物系数AiA_iAi的系数为负，生成物系数为正
- 定压反应热（焓变）Qp=ΔH=∑iνihiQ_p=\Delta H=\sum_i\nu_ih_iQp=ΔH=∑iνihi
- 平衡条件（等温等压）
- δG=∑iνiμi=0\delta G=\sum_i\nu_i\mu_i=0δG=∑iνiμi=0
- 反应度
- 反应方程式：∑iνiAi=0\sum_i\nu_iA_i=0i∑νiAi=0
朗道连续相变理论
解决问题：给出了对连续相变现象的一个解释，并预言了临界指数
解决方案：引入序参量的概念，把热力学势按序参量展开，用对称性和稳定条件加以限制，得出结果
- 序参量
- 朗道函数
- 例子：铁磁体
例子与证明
铁磁体的连续相变
引自助教习题课讲义：
假设H=0H=0H=0时G(T,H)G(T,H)G(T,H)有如下形式
G(T,H=0)=G0(T)+a(T)M2+b(T)2M4+…G(T, H=0)=G_{0}(T)+a(T) M^{2}+\frac{b(T)}{2} M^{4}+\ldots G(T,H=0)=G0(T)+a(T)M2+2b(T)M4+…
更一般的
G(T,H)=G0(T)−μ0MH+a(T)M2+b(T)2M4+…G(T, H)=G_{0}(T)-\mu_{0} M H+a(T) M^{2}+\frac{b(T)}{2} M^{4}+\ldots G(T,H)=G0(T)−μ0MH+a(T)M2+2b(T)M4+…
注意，实际上总会有一个状态方程M=M(T,H)M = M(T,H)M=M(T,H)保证了上式左右两边都以T,HT,HT,H为变量，但
我们暂时还不知道M=M(T,H)M = M(T,H)M=M(T,H)长什么样子。下面我们着眼于H=0H = 0H=0的情形。假设在临界
点附近a(T)=a(T−Tc)，b(T)=ba(T) = a(T − T_c)，b(T) = ba(T)=a(T−Tc)，b(T)=b且a,b>0a, b > 0a,b>0，由Gibbs自由能取极小值的要求，我们有:
M2={ll0T>Tc−a(T−Tc)bT<TcM^{2}=\begin{cases}{ll}{0} & {T>T_{c}} \\ {-\frac{a\left(T-T_{c}\right)}{b}} & {T<T_{c}}\end{cases} M2={ll0−ba(T−Tc)T>TcT<Tc
这也就是说，铁磁相(低温)与顺磁相(高温)之间状态方程不同，把M的表达式代回 到G中可发现热力学势函数的形式也不同，然后对T 求偏导可得S的表达式。
有外场的时候就不再是连续相变了，但依然可以对M求导得状态方程μ0H=2a(T−Tc)M+2bM3\mu_0H = 2a(T − T_c)M + 2bM^3μ0H=2a(T−Tc)M+2bM3，然后拿来折腾。铁磁相和顺磁相的状态方程就是满足这方程的两个 不同的M取值。
两相的状态方程形式不同，G的形式不同;两相共存时μI=μII\mu^I = \mu^{II}μI=μII，即摩尔Gibbs自由能的值相等;热力学 第三定律告诉我们零温时不同相的摩尔熵相等。
孤立系统稳定平衡条件的导出
孤立系统稳定平衡条件：
δS=0δ2S<0\begin{array}{cc} &\delta S = 0 \\\\ &\delta^2S<0 \end{array} δS=0δ2S<0
KaTeX parse error: Expected '\right', got '\fracpartial' at position 37: …elta^2S&=\left(\̲f̲r̲a̲c̲p̲a̲r̲t̲i̲a̲l̲{^2S}{U^2}\righ…
又有：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\embracesmall' at position 8: \delta\̲e̲m̲b̲r̲a̲c̲e̲s̲m̲a̲l̲l̲{\frac1T}=-\fra…
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\embracesmall' at position 8: \delta\̲e̲m̲b̲r̲a̲c̲e̲s̲m̲a̲l̲l̲{\frac pT}=\fra…
带入δ2S\delta^2Sδ2S的表达式中得
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\embracesmall' at position 28: …\frac{C_V}{T^2}\̲e̲m̲b̲r̲a̲c̲e̲s̲m̲a̲l̲l̲{\delta T}^2+\f…
Cp=CV+TVα2κTC_p=C_V+\frac{TV\alpha^2}{\kappa_T}Cp=CV+κTTVα2
证：
Cp=T(∂S∂T)p=T∂(S,p)∂(T,V)∂(T,V)∂(T,p)=T[(∂S∂T)V(∂p∂V)T−(∂S∂V)T(∂p∂T)V](∂V∂p)T=CV+T(∂p∂T)V(∂V∂T)p=CV+TVα2κT\begin{array}{cl} C_{p} &=T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p} \\\\ &=T \frac{\partial(S, p)}{\partial(T, V)} \frac{\partial(T, V)}{\partial(T, p)} \\\\ &=T\left[\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T-\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V\right]\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \\\\ &=C_V+T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \\\\ &=C_V+\frac{TV\alpha^2}{\kappa_T} \end{array} Cp=T(∂T∂S)p=T∂(T,V)∂(S,p)∂(T,p)∂(T,V)=T[(∂T∂S)V(∂V∂p)T−(∂V∂S)T(∂T∂p)V](∂p∂V)T=CV+T(∂T∂p)V(∂T∂V)p=CV+κTTVα2
方法与技巧
- 例子：孤立系统稳定平衡条件的导出
- 化简偏微分式子(用CV,Cp,p,V,TC_V,C_p,p,V,TCV,Cp,p,V,T和α,κT,β\alpha,\kappa_T,\betaα,κT,β三选二表示)
- 若有热力学势函数，先通过热力学势函数的微分式消热力学势;
- 若有化学势μ，通过Gibbs-Duhem关系式消化学势;
- 消S。把∂S转移到分子上，能用Maxwell关系就用，不然插入∂T化简为CVC_VCV和CpC_pCp;
- 现在我们剩下的只有与状态方程f(p,V,T)f(p,V,T)f(p,V,T)有关的偏导数了，把∂V放到分子上，得α,κT\alpha,\kappa_Tα,κT;
- Cp=CV+TVα2κTC_p=C_V+\frac{TV\alpha^2}{\kappa_T}Cp=CV+κTTVα2
- 稳定平衡条件的导出
数学公式
- nnn次齐函数
- def: 若f(x1,x2,⋯ ,xk,y)f(x_1,x_2,\cdots,x_k,y)f(x1,x2,⋯,xk,y)有f(λx1,λx2,⋯ ,λxk,y)=λmf(x1,x2,⋯ ,xk,y)f(\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots,\lambda x_k,y)=\lambda^mf(x_1,x_2,\cdots,x_k,y)f(λx1,λx2,⋯,λxk,y)=λmf(x1,x2,⋯,xk,y)，则称f(x1,x2,⋯ ,xk,y)f(x_1,x_2,\cdots,x_k,y)f(x1,x2,⋯,xk,y)是x1,x2,⋯ ,xkx_1,x_2,\cdots,x_kx1,x2,⋯,xk的m次齐函数
- ∑ixi∂f∂xi=mf\sum_ix_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=mfi∑xi∂xi∂f=mf
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文章目录 第二章 均匀物质的热力学性质 2.2 麦氏关系的简单应用 - 热力学正方形(Thermodynamic square) - 外微分形式 2.6 热辐射的热力学理论 - 热辐射的基尔霍夫定律( ...
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量子统计部分主要用于描述那些在低温下会显示出基于泡利不相容性原理的量子效应的物质,如低温下的超导体和硬溶胶态物质等.在这些物质中,粒子之间的相互作用非常强,这使得它们的行为由量子统计效应来描述. 具体 ...
- 热学在计算机方面的应用,计算机模拟实验在“热力学统计物理”教学中的应用...
[摘 要] 针对"热力学统计物理"课程理论性强的特点,在教学过程中融入了计算机模拟实验,将复杂的理论问题通过计算机模拟实验可视化.通过实例展示了计算机模拟实验嵌入"热力学 ...
- 统计物理α和β方法体系介绍
α和β法就是在统计物理中用 写配分函数,再记住几个密度算符,熵算符的写法,这样的好处是求导的时候形式能更简洁,直接使用热力学关系虽然记忆内容少,但是运算复杂,容易出错. 考虑经典单原子分子理想气体,设 ...
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UA MATH575B 数值分析下 计算统计物理例题2 理论解法 C-K方程法 特征值法(近似解) 模拟解法 Rejection Sampling Importance Sampling 一个位于原点 ...
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UA MATH575B 数值分析下 计算统计物理例题1 统计物理方法的解析解 Markov链 理论解 数值解 Monte Carlo模拟. 一道有趣的统计物理的题目.下面这个简单的迷宫中,一只老鼠一开 ...
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UA MATH575B 数值分析下 统计物理的随机模拟方法5 Ising Model Gibbs Sampling Glauber Dynamics 这一讲介绍Ising Model,它是MCMC与G ...
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