Cauchy-Riemann Relations

complex variable z ,

$/displaystyle z=u(x,y)+jv(x,y) / / / x,y /in Real$

Jacobian Matrix

$/Large/displaystyle{J=/left[ /begin{array}{cc} /frac{/partial u}{/partial x} &/frac{/partial u}{/partial y} // /frac{/partial v}{/partial x} &/frac{/partial v}{/partial y} /end{array} /right]}$

For analytic functions , they satisfy Cauchy-Riemann Relations

$/displaystyle /frac{/partial u}{/partial x}= /frac{/partial v}{/partial y} ,/ / /frac{/partial u}{/partial y}= -/frac{/partial v}{/partial x}$

Both u and v are separately solutions of Laplace’s equation in two dimensions, i.e.

$/displaystyle /frac{/partial }{/partial x}/left(/frac{/partial u}{/partial x}/right)= /frac{/partial }{/partial x}/left(/frac{/partial v}{/partial y}/right)=/frac{/partial }{/partial y}/left(/frac{/partial v}{/partial x}/right)=-/frac{/partial }{/partial y}/left(/frac{/partial u}{/partial y}/right) /Rightarrow /frac{/partial^2 u}{/partial x^2}+/frac{/partial^2 u}{/partial y^2} =0$

$/displaystyle /frac{/partial }{/partial x}/left(/frac{/partial v}{/partial x}/right)= -/frac{/partial }{/partial x}/left(/frac{/partial u}{/partial y}/right)=-/frac{/partial }{/partial y}/left(/frac{/partial u}{/partial x}/right)=-/frac{/partial }{/partial y}/left(/frac{/partial v}{/partial y}/right) /Rightarrow /frac{/partial^2 v}{/partial x^2}+/frac{/partial^2 v}{/partial y^2} =0$

The gradients of u and v are orthogonal

$/displaystyle /nabla u=/frac{/partial u}{/partial x} /vec{n}_x+/frac{/partial u}{/partial y} /vec{n}_y =u_x/vec{n}_x+u_y/vec{n}_y$

$/displaystyle /nabla v=/frac{/partial v}{/partial x} /vec{n}_x+/frac{/partial v}{/partial y} /vec{n}_y =-/frac{/partial u}{/partial y} /vec{n}_x+/frac{/partial u}{/partial x} /vec{n}_y=-u_y/vec{n}_x+u_x/vec{n}_y$

Cauchy-Riemann Relations相关推荐

复变函数系列（三） - 复变函数的积分
目录复变函数的积分 1. 有关的几个定理与公式 1.1 C-R 方程 1.2 C-G 定理 1.3 圈圈公式 1.4 复合闭路定理 1.5 Cauchy积分公式 1.6 高阶导数公式 1.7 Lap ...
Riemann积分的一点点菜鸡笔记（一）
Riemann积分的一点点菜鸡笔记(一)在假的Darboux理论搞得清楚一点以后,我觉得有必要写一下这个数学分析(二)中最简单的一章的一点点笔记,主要还是去写Riemann积分准则.定理:[a,b] ...
黎曼曲面Riemann Surface
黎曼曲面Riemann Surface A Riemann surface is a surface-like configuration that covers the complex plane ...
DataSet.Relations一例
DataSet.Relations一例 DataSet ds = Database.ExecuteDataSet(CommandType.Text, "SELECT * FROM SR_Re ...
Log Cauchy分布的一个Hierarchical模型：LC=Gamma+Gamma+Unif
Log Cauchy分布的一个Hierarchical模型:LC=Gamma+Gamma+Unif 一个重要公式:Γ(z)Γ(1−z)=πsin⁡(πz)\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\f ...
定义数据表之间的关联 (DataSet.Relations.Add)
DataSet.Relations.Add("关联名称", 父关联主键字段, 子关联外来键字段) ----------------------------------------- ...
[实变函数]5.5 Riemann 积分和 Lebesgue 积分
1 记号: 一元函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的 (1)Riemann 积分: $\dps{(R)\int_a^b f(x)\rd x}$; (2)Lebesgue 积分: $\dps{(L)\ ...
DataSet.Relations 属性
获取用于将表链接起来并允许从父表浏览到子表的关系的集合. 属性值包含 DataRelation 对象的集合的 DataRelationCollection:否则为空值(如果不存在任何 DataRel ...
18-Gm-TransH：Group-Constrained Embedding of Multi-fold Relations in Knowledge Bases,嵌入,transH,n-ary
文章目录 abstract 1. introduction 2 Related Work 2.1 Binary Relation Embedding 2.2 Multi-fold Relation E ...
Redmine Gantt 实现（Show relations in Gantt diagram）
Redmine 是一个比较强大的项目工具,里面的Gantt的选项,看起来好像功能不强,其实是很多默认的选项没有打开. 本文,提及在redmine中实现甘特图的各个任务的关联,这样就可以不用在某一个项目 ...

Cauchy-Riemann Relations

Cauchy-Riemann Relations相关推荐

最新文章

热门文章